nx دارای 30 صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است
فایل ورد nx کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه و مراکز دولتی می باشد.
این پروژه توسط مرکز nx2 آماده و تنظیم شده است
توجه : در صورت مشاهده بهم ريختگي احتمالي در متون زير ،دليل ان کپي کردن اين مطالب از داخل فایل ورد مي باشد و در فايل اصلي nx،به هيچ وجه بهم ريختگي وجود ندارد
بخشی از متن nx :
خلاصه‌ی مطالب برآن شدم تا با تلاش مستمر مطالبی را از نظر گرامیتان بگذرانم كه بدیع باشد و قابل ارائه، امیدوارم رضایت خاطر شما خوانندگان گرامی را جلب نمایم. دراین‌جا خلاصه‌ای از مطالبی كه مطالعه خواهید كرد آورده شده است.
دریك حلقه‌ی جابجایی و یكدار R، گراف مقسوم علیه صفر ، گرافی است كه رأس های آن مقسوم علیه های صفر غیرصفر R می باشند كه درآن دو رأس مجزای xو y مجاورند هرگاه xy=0. این مقاله اثباتی براین مطلب است كه اگر R نوتری باشد آن گاه شعاع ،0،1 و یا 2 می باشد و نشان داده میشود كه وقتی R آرتینی میباشد اجتماع مركز با مجموعه {0} اجتماعی از ایده آل های پوچ ساز است. زمانی كه مركز گراف مشخص شده باشد می توان قطر را تعیین كرد و نشان داده
میشود كه اگر R حلقه‌ی متناهی باشد آن گاه میانه زیر مجموعه ای از مركز آن است. زمانی كه R آرتینی باشد با به كاربردن عناصری از مركز می‌توان یك مجموعه‌ی غالب از ساخت و نشان داده می شود كه برای حلقه‌ی متناهی ، كه F میدان متناهی است، عدد غالب مساوی با تعداد ایده آل های ماكسیمال مجزای R است. و همچنین نتایج دیگری روی ساختارهای بیان میشود. واژه های كلیدی مجموعه های مركزی؛ حلقه‌ی جابجایی؛ مقسوم علیه صفر؛ گراف مقسوم علیه صفر
فصل اول1-مقدمه حلقه‌ی جابجایی و یكدار R داده شده است. گراف مقسوم علیه صفر، ، گرافی است كه رأس های آن مقسوم علیه های صفر غیرصفر حلقه R می باشند، بین دو رأس مجزای x و y یال وجود دارد اگر وفقط اگر xy=0 باشد. گراف مقسوم علیه صفر حلقه‌ی R با نشان داده می شود. این تعریف از ابتدا توسط livings Ston (1999) و Anderson بیان شد كه تعداد زیادی از ویژگی های اساسی مورد بررسی قرار گرفت. تعریف اصلی توسط Beck (1988) و Nasser (1993) و Anderson بیان شد كه همه‌ی عناصر حلقه به عنوان رأس های گراف انتخاب می شدند.
و Anderson et al.(2001) , De meyer and Schnieider (2002), Smit (2002) مقاله‌های دیگری درارتباط با گراف مقسوم علیه صفر از حلقه های جابجایی ارائه دادند. این ساختار های گرافیكی به شكل موضوع های جبری دیگر توسط Cannon et al.(2005) and DeMeyer et al.(2002), Redmond (2002)2003,2004) تعمیم داده شده است، كه در ادامه به آن می پردازیم.
درطول این پژوهش برآنیم كه نتایجی را روی حلقه های یكدار و جابجایی متناهی بیابیم. این نتایج برای عمومی ترین موارد ممكن بیان می شود. هدف ارائه دادن همه‌ی نظریه های كاربردی از مركزیت گراف و تحقیق درمورد مفاهیم تقریباً محض از گراف های مقسوم علیه صفر می باشد. ابتدا نشان داده می شود كه شعاع های گراف مقسوم علیه صفر یك حلقه نوتری و جابجایی و یكدار 0، 1، 2 میباشد. این قضیه دربخش های بعدی برای تعریف خصوصیات سه مجموعه مركزی (مركز،
میانه و مجموعه های غالب با اندازه‌ی می نیمال) درگراف های مقسوم علیه صفر از حلقه‌های جابجایی و یكدار به كاربرده می شود. و نیز ارتباط بین این مجموعه ها مورد بررسی قرار می گیرد. به عنوان پیامدی از این نتایج، ویژگی های دیگری از را بیان می كنیم كه از جمله‌ی آن ها قطر و كران ها روی تعداد یال های گراف میباشد. 2-پیش نیازها
بالطبع لازمه‌ی پردازش به مبحث مجموعه های مركزی و شعاع ها در گراف های مقسوم علیه صفر حلقه های جابجایی واقف بودن به تعاریفی است كه آن را باید پیش نیاز نامید: تعریف 121 پوچ ساز (annihilator) x مجموعه‌ی عناصر می باشد به طوری كه xy=0 به عبارت دیگر تعریف 221عنصر ناصفر x درحلقه‌ی R را یك مقسوم علیه صفر (zero dirisor) گوییم هرگاه عنصر ناصفری از R مانند موجود باشد به طوری كه xy=0. مجموعه‌ی مقسوم علیه های صفر حلقه‌ی R را با Z(R) نشان می دهیم كه به صورت زیر میباشد:
تعریف 321عنصر راعنصر پوچ توان R (nillpotent) می نامیم هرگاه موجود باشد به طوری كه xn=0.
تذكر: بدیهی است كه هر عنصر پوچ توان یك مقسوم علیه صفر حلقه میباشد. تعریف 421 پوچ رادیكال (nillradical) حلقه‌ی R ایده آلی شامل همه‌ی عناصر پوچ توان حلقه R می باشد كه به صورت nill (R) نمایش داده می شود. تعریف 521اشتراك همه‌ی ایده آل های ماكسیمال حلقه‌ی R را رادیكال جیكوبسن R (Jacobson) می نامیم و با J(R) نمایش می دهیم. تعریف 621 حلقه‌ی R راتحویل یافته یا تقلیل یافته (reduced) می نامیم هرگاه عنصر پوچ توان غیرصفر نداشته باشد.
اكنون مروری داریم بر بعضی از تعریفات و نمادهای نظریه گراف:
تعریف 721گرافی مانند G=(V,E) ساختاری است مركب از یك مجموعه‌ی متناهی مانند V از رئوس (گره ها) كه با نماد V(G) نشان داده می شود و یك زیر مجموعه از زیر مجموعه های دو عنصری V مانند E از یال ها، و دو رأس از V مانند w,v مجاورند اگر یالی مانند e از E آن دو را به هم وصل كند. یالی كه رأسی را به خودش وصل كند طوقه نام دارد.V={a,b,c,d}E={(a,b), (b,c), (a,c), (c,d)}
تعریف 821گراف G كه بین دو رأس آن بیش از یك یال وجود داشته باشد را گراف چندگانه می نامیم.
تعریف 921گراف G را ساده می نامند هرگاه طوقه و یال چندگانه نداشته باشد. تعریف 1021 دو رأس را مجاور گویند هرگاه كمانی از یكی به سوی دیگری وجود داشته باشد. تعریف 1121 گراف Gرا همبند گویند هرگاه بین هر جفت از رئوس آن مسیری وجود داشته باشد. تعریف 1221گراف ساده‌ی n رأس را گراف كامل می نامند هرگاه هر رأس آن با همه رئوس دیگر مجاور باشد. یك گراف كامل n رأسی را با kn نمایش می دهیم.
تعریف 1321 گراف G را گراف دو بخشی كامل می نامیم هرگاه: اگر مجموعه‌ی رأس ها اجتماعی از دو مجموعه‌ی مجزای B,A باشد، هر عضو از A با هر عضو از B مجاور باشد ولی هیچ دو عضو از A و هیچ دو عضو از B مجاور نمی باشند، گراف دو بخشی كامل را با kn,m نمایش می دهیم كه درآن به طور مثال اگر: V={1,2,3,4,a,b,c,d}A={1,2,3,4}B={a,b,c,d}
گراف دو بخشی كامل k4,4تعریف 1421گراف ستاره درختی است كه یك رأس مجاور با همه‌ی رئوس دارد. گراف دو بخشی كامل k1,m یك گراف ستاره می باشد كه در آن و كه هیچ دو عضو از B مجاور نمی باشند. به طور مثال اگر: V={1,a,b,c,d}A={1}B={a,b,c,d}
تعریف 1521 گرافی مانند( را زیر گراف G=(V,E) می نامند اگر زیر مجموعه‌ی V و زیر مجموعه‌ای از E باشد. اگر W زیر مجموعه ای دلخواه از V باشد زیر گراف القایی G به وسیله‌ی W عبارت است از گراف H=(W,F) كه در آن F یالی در f است هرگاه f={v,u} یالی در E باشد و هر دوی v,u در W باشند.
تعریف 1621 درجه هر رأس x درگراف G كه با نماد deg(x) نشان داده می شود تعداد رأس هایی از گراف G است كه با X مجاورند به عبارت دیگر تعداد یال‌های گذرنده از هر رأس را درجه آن رأس می‌نامیم. تعریف 1721 طول كوتاه ترین مسیر در گراف G كه از x آغاز و به y ختم می شود را فاصله‌ی دو رأس x و y می نامیم و با نماد d(x, y) نمایش می دهیم.
بعد از آشنایی با مباحث فوق به موضوع اصلی یعنی گراف های مقسوم علیه صفر می‌پردازیم. تعاریف ذیل از گراف های مقسوم علیه صفر حاصل تلاش اساتید بزرگی است كه جای تعمق و تأمل بسیار دارد: نخستین تعریف از گراف مقسوم علیه صفر، ، توسط Anderson living ston (1999) بیان شد: فرض كنید R یك حلقه جابجایی و یكدار باشد و Z(R) مجموعه مقسوم علیه های صفر حلقه R باشد. یك گراف ساده از حلقه R كه رأس های آن
Z*(R)= Z(R)-{0} (مجموعه‌ی مقسوم علیه های غیرصفر ازحلقه‌ی R باشند و دو رأس مجزای مجاور باشند اگر و تنها اگر xy=0، می توان ساخت. ایده‌ی اصلی در مورد گراف های مقسوم علیه صفر توسط Beck (1988) بیان شده بود كه البته موضوع مورد علاقه وی رنگ آمیزی گراف ها بود. Naseer وAnderson درسال 1993 این چنین بیان كردند: اگر R یك حلقه‌ی جابجایی ویكدار باشد R به یك گراف ساده كه رأس های آن عناصر حلقه‌ی R می باشند، نظیر میشود. مثال: 1821 با توجه به تعاریف اولیه‌ی گراف های مقسوم علیه صفر، گراف حلقه‌های به صورت زیر می باشد:
گراف گراف
كه درآنها تمامی عناصر حلقه به عنوان رئوس گراف در نظر گرفته می‌شوند. تعریف بعدی توسط F.R.De Meye and T.M chenzie and k.schneider (2002) ارائه شد كه درزیر بیان شده است: یك گراف غیرجهت دار به هر نیم گروه S صفردار جابجایی چندگانه متناظر میشود. رئوس گراف بوسیله مقسوم علیه های غیرصفر از S نام گذاری می‌شوند و دو رأس x و y به وسیله یك یال به یكدیگر متصل می شوند هرگاه xy در S مساوی صفر شود. (xy=0).
تعریفی كه Beck بیان كرد این چنین بود: برای هر حلقه جابجایی R گراف مقسوم علیه صفر G(R) را می توان گرافی در نظر گرفت كه رئوس آن مقسوم علیه های صفر R (شامل 0) می باشند با دو رأس b,a كه مجاورند هرگاه ab=0. مشكل Beck درمورد رنگ آمیزی گراف ها بود كه هیچ دو راسی كه دریك گراف مجاورند هم رنگ نباشند. و درنهایت تعریف كلی تری توسط Redmond (2002) ارائه شد كه مبنای مباحثی است كه دراین مقاله از نظر گرامیتان می گذرد: برای یك حلقه جابجایی و یكدار R، گراف مقسوم علیه صفر R، كه با نشان داده می شود گرافی است كه رئوس آن مقسوم علیه های صفر غیر صفر R می‌باشند و دو رأس مجزای y,x مجاورند هرگاه حاصل‌ضرب آن ها صفر باشد. (xy=0)
مثال 1921 گراف برطبق تعریف اخیر به صورت زیر می باشد :
گراف گراف گراف قبل از مطالعه‌ی مطالب اصلی مقاله دانستن قضایای زیر الزامی است: قضیه 2021 ]قضیه 2;22 [فرض كنید R یك حلقه‌ی جابجایی باشد، آن گاه متناهی است اگر و تنها اگر R متناهی باشد یا حوزه صحیح باشد. به ویژه اگر آن گاه R متناهی است و میدان نمی باشد. برهان : فرض كنید =Z(R)* متناهی و ناتهی است. آن گاه x,y غیر صفر از 1R وجود دارد كه xy=0. فرض كنید I=ann(x) آن گاه متناهی است و برای هر . اگر R نامتناهی باشد آن گاه وجود دارد كه نامتناهی است و برای هر ، (r-s)y=0 بنابراین نامتناهی است و این یك تناقض می باشد پس R باید متناهی باشد.
قضیه 2121 ]قضیه [ 2;23فرض كنید R یك حلقه‌ی جابجایی باشد. آن گاه همبند است و .برهان: فرض كنید و مجاور باشند. آن گاه d(x,y)=1. حال فرض كنیم ، اگر x2=y2=0 آن گاه x-xy-y مسیری به طول 2 می باشد بنابراین d(x,y)=2. اگر x2=0 و آن گاه وجود دارد: با by=0. اگر bx=0 آن گاه x-b-y مسیری به طول 2 می باشد، اگر ، آن گاه x-bx-y مسیری به طول 2
میباشد. یعنی d(x,y)=2. به طور مشابه اگر y2=0 و . بنابراین فرض می كنیم x2,xy,y2 غیر صفر باشند، بنابراین وجود دارد: به طوری كه ax=by=0 . اگر a=b آن گاه x-a-y مسیری به طول 2 می باشد. پس . اگر ab=0 آن گاه x-a-b-y مسیری به طول 3 می باشد. بنابراین و اگر آن گاه x-ab-y مسیری به طول 2 می باشد بنابراین و می باشد.
قضیه 2221 ]قضیه 213؛ 2 [ فرض كنید R یك حلقه جابجایی متناهی با باشد آن گاه گراف ستاره است اگر و تنها اگر كه F میدان متناهی است . برهان : فرض كنید یك گراف ستاره است و با توجه به نتیجه‌ی 2321 ولم 2421 كه در ادامه آماده است می توان فرض كرد (R,M) موضعی است و برای و فرض كنید M=ann(x) و را به طور دلخواه درنظر می گیریم كه ab=ac=ad=x چرا كه و بنابراینa(b-d)=a(b-c)=0 توجه كنید كه ann(a)={a,x} و b-c=b-d=2 بنابراین c=d كه تناقض است پس و حكم ثابت شد. نتیجه2221پ ]نتیجه 72؛ 2 [ فرض كنید R یك حلقه ی جابجایی متناهی است آن گاه یك رأس وجود دارد به طوری كه با همه‌ی رئوس مجاور است اگر و تنها اگر كه F میدان متناهی است یا R حلقه‌ی موضعی می باشد. به علاوه برای عدد اول P و عدد اگر و اگر R موصفی باشد می باشد. لم 2421فرض كنید R یك حلقه جابجایی متناهی باشد. اگر دقیقاً یك رأس مجاور با همه‌ی رئوس داشته باشد آن گاه كه F میدان متناهی است با یا R موضعی است با ایده ال ماكسیمال M كه و و بنابراین یا 2n-1 برای عدد اول P و .
فصل دوم12-شعاع تعریف 112 دریك گراف همبند G، ماكسیمم فاصله بین دو رأس مجزا در G را قطر (diameter) گراف می نامیم. تعریف 212برای هر رأس x از گراف همبند Gماكسیمم فاصله x تا رئوس دیگر خروج از مركز x (eccentricity) نامیده می شود و با نماد e(x) نمایش می دهیم.
تعریف 321مجموعه رئوس با خروج از مركز می نیمال را مركز گراف می نامیم. (center)تعریف 412 دریك گراف همبند G می نیمم مقدار خروج از مركز گراف G را شعاع (radius) گراف G می نامیم. (در ادامه خواهیم گفت كه قطر و شعاع گراف G صفر است اگر G یالی نداشته باشد و مواردی كه مجموعه رئوس گراف تهی است را بررسی نمی كنیم)مثال 512 درگراف پترسن (petersen) قطر، 2، خروج از مركز، 2 و مركز مجموعه ای شامل تمامی رئوس و شعاع گراف نیز 2 می باشد.
مثال 612 ]تمرین 2147؛15 [ می دانیم كه اگر یك گراف همبند با شعاع r و قطر d داشته باشیم آن گاه می باشد. حل: diam G=d(x0,y0¬)d(x0¬,y0)<d(x0,z)+d(y0,z)طبق نامساوی مثلث : radG=d e(z)=radG : e(z)= max d(z,l) rad G= min e(p) = e(z) e (x0)= max d (x0,l) = d (x0y0): diam G= maxe (p) = e (x0) d(x0,y0)< d (x0,z)+d(y¬0,z) = e(z)+ e(z) = 2e(z) = 2rad G
درقضیه 2021 نشان داده شده است كه اگر R یك حلقه ی جابجایی باشد آن گاه همبند است و حداكثر 3 قطر دارد. درزیر مثال هایی از حلقه ها با گراف مقسوم علیه صفری با قطر 0، 1، 2، یا 3 آورده شده است. مثال 212 قطر گراف ، 2 قطر گراف و ، 1 و قطر و ، 0 می باشد.
علاوه براین درقضیه 2121 نشان داده ایم كه متناهی و ناتهی است اگر و تنها اگر R متناهی باشد یا حوزه صحیح نباشد. در ادامه نتایج زیر را اثبات می كنیم: شعاع گراف مقسوم علیه صفر از هر حلقه‌ی جابجایی و یكدار نوتری كه حوزه صحیح نباشد 0 و 1و یا 2 می باشد. گراف مقسوم علیه صفر از یك حلقه R دارای شعاع دقیقاً صفر است وقتی كه گراف دقیقاً 1 رأس داشته باشد. در ]21 مثال ؛ 19[ اثبات شده است كه R ایزومرف است با یا .
دارای دقیقاً یك رأس می باشد. توجه كنید كه هر گراف G با شعاع 1 لزوما حداقل یك رأس متصل به رئوس دیگر دارد . در ادامه دو نتیجه مهم بیان شده است . ]نتیجه های 27و. 26؛ 2 [قضیه 812فرض كنید R یك حلقه جابجایی و یكدار نوتری باشد . آنگاه یك رأس از وجود دارد كه با همه رأس های دیگر مجاور است اگر وتنها اگر كه A یك حوزه صحیح است یا Z(R) یك ایده آل R است . به علاوه اگر R متناهی باشد آنگاه یك رأس از وجود دارد كه با همه رأس های دیگر مجاور است یا R حلقه موضعی می باشد .
برهان : فرض كنید (R) Z ایده آل پوچ ساز نباشد ، یك رأس مجاور با رئوس دیگر باشد. و در غیر این صورت z(R)=I یك ایده آل پوچ ساز باشد . بنابراین I در بین پوچ سازها ماكسیمال می باشد . پس ایده آل اول می باشد . اگر آن گاه a3=a2a=0 و بنابراین كه تناقض می باشد . پس a2=aو بنابراین می توان فرض كرد R2 * R1 = R و رأس (0 ,1) كه مجاور با رئوس دیگر می باشد . برای و راس (c,0) یك مقسوم علیه صفر می باشد (c,0)=(c,0)(1,0)=(0,0) كه تناقض است مگر آنكه c =0 . بنابراین . اگر R2حوزه صحیح نباشد آن گاه وجود دارد كه (1,b) یك مقسوم علیه صفر R است كه با (1و0) مجاور نیست و این یك تناقض می باشد پس R2 باید حوزه صحیح باشد . Z(R) پوچ ساز نبود پس در بین ایده آل های ماكسیمال است پس اول می باشد .
اگر برای هر حوزه صحیحA كه (0 و1 ) با رئوس دیگر مجاور میباشد . اگر z(R)=ann(x) برای آن گاه x با همه‌ی رئوس دیگر مجاور میباشد. نتیجه 912 فرض كنید R یك حلقه جابجایی ویكدار نوتر می باشد شعاع صفر است اگر وتنها اگر یا شعاع ، 1 است اگر وتنها اگر كهA حوزه صحیح است ، یا Z(R) یك ایده آل R میباشد به علاوه اگر R متناهی باشد شعاع ، 1 است اگر وتنها اگر كه F یك میدان متناهی است یا R حلقه موضعی است.برهان : با توجه به قضیه بدیهی می باشد . قضیه 1012 فرض كنید R یك حلقه جابجایی و یكدار نوتری باشد كه حوزه صحیح نیست آنگاه شعاع حداكثر 2 می باشد.
برهان: طبق نتیجه‌ی قبل فرض می كنیم Z(R) ایده آل نباشد. دو حالت درنظر می‌گیریم. 1- R حلقه‌ی تحویل یافته باشد. 2- Rحلقه‌ی تحویل نیافته باشد. اگر R حلقه‌ی تحویل یافته باشد و كه Pi ها ایده آل های اول می نیمال می باشند و چون Z(R) ایده آل نیست می باشد. (حلقه نوتری است پس ایده ال های آن متناهی می باشند)برای =1,…,n iو و پس و درنتیجه: وجود دارد به طوری كه . حلقه‌ی R كاهش یافته است پس: j=m
ادامه خواندن مقاله مجموعه هاي مركزي و شعاع ها درگراف هاي مقسوم عليه صفر از حلقه هاي جابجايي
نوشته مقاله مجموعه هاي مركزي و شعاع ها درگراف هاي مقسوم عليه صفر از حلقه هاي جابجايي اولین بار در دانلود رایگان پدیدار شد.