nx دارای 14 صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است
فایل ورد nx کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه و مراکز دولتی می باشد.
این پروژه توسط مرکز nx2 آماده و تنظیم شده است
توجه : در صورت مشاهده بهم ريختگي احتمالي در متون زير ،دليل ان کپي کردن اين مطالب از داخل فایل ورد مي باشد و در فايل اصلي nx،به هيچ وجه بهم ريختگي وجود ندارد
بخشی از متن nx :
تحلیل اعداد
نظریه اعداد شاخه ای است از ریاضیات كه از خواص اعداد درست ، یعنی 1،2،3،4،5 و …كه اعداد شمار یا اعداد صحیح مثبت نیز نام دارند ، سخن می گوید .
شك نیست كه اعداد صحیح مثبت نخستین اختراع ریاضی بشر است . به سختی می توان انسانی را مجسم كرد كه ، لااقل در سطحی محدود ، قدرت شمارش نداشته باشد . یادداشتهای تاریخی نشان می دهند كه سومریان باستان حدود 5700 ق . م تقویم داشته اند و از اینرو باید نوعی حساب می داشته اند.
حدود 2500 ق . م سومریها ، با استفاده از عدد 60 به عنوان پایه ، دستگاه اعدادی ابداع كردند . این دستگاه نصیب بابلیها شد كه به مهارتهای والایی در حساب رسیدند . لوحهایی گلی بدست آمده از بابلیها شامل جداول ریاضی كاملی هستند و قدمتشان به 2000 ق . م می رسد .
وقتی تمدنهای باستان به سطحی رسیدند كه اوقات فراغت برای تدقیق در اشیاء بدست آمد ، برخی به تفكر در سرشت و خواص اعداد پرداختند . این كنجكاوی به نوعی تصوف یا علم معانی رمزی اعداد منجر شد و حتی امروزه نیز اعدادی نظیر 3،7،11،13 نشانه خوش شانسی یا بدشانسی هستند.
بیش از 5000 سال قبل از آنكه كسی به فكر بررسی خود اعداد به طور اصولی باشد ، اعداد برای حفظ محاسبات و معاملات تجاری بكار رفته اند. اولین روش علمی برای بررسی اعداد صحیح ، یعنی مبدا، اصلی نظریه اعداد ، را عموماً به یونانیان نسبت می دهند.
حدود 600 ق . م ، فیثاغورس و پیروانش بررسی نسبتاً جامعی از اعداد صحیح كردند . آنان اولین كسانی بودند كه اعداد صحیح را به طرق مختلف رده بندی كردند :اعداد زوج : 2،4،6،8،10،12و…اعداد فرد : 1،3،5،7،9،11 و …
اعداد اول : 2،3،5،7،11،13،17،19،23،29،31،37،41،43،47،53،59،61،67،71،73،79، و …اعداد مركب : 4،6،8،9،10،12،14،15،16،18،20 و …یك عدد اول عددی است بزرگتر از 1 كه تنها مقسوم علیه های آن 1 و خود عدد باشند . اعدادی كه اول نباشند مركب نام دارند . جز عدد 1 كه نه اول گرفته می شود نه مركب .
فیثاغوریان ، اعداد را به هندسه نیز مربوط ساختند . آنان مفهوم اعداد چند ضلعی را معرفی كردند : اعداد مثلثی ، اعداد مربعی ، اعداد مخمسی و … دلیلی این نامگذاری هندسی با نمایش اعداد به وسیله نقاط به شكل مثلث ، مربع ، مخمس و … بوده است .
رابطه دیگر اعداد با هندسه ناشی از قضیه معروف فیثاغورس است ، كه می گوید : در هر مثلث قائم الزاویه مربع وتر مساوی مجموع مربعات دو ضلع دیگر است . فیثاغوریان به مثلثهای قائمی نظر داشتند كه همانند شكل اضلاعشان اعدادی صحیح باشند .
این نوع مثلثها را امروزه مثلثهای فیثاغوری می نامند . سه تایی (x,y,z ) نظیر كه نمایشگر طول اضلاع است یك سه تایی فیثاغوری نام دارد . یك لوح بابلی ، متعلق به حدود 1700 ق. م پیدا شده كه شامل صورت مبسوطی از سه تایی های فیثاغوری است و بعضی از اعداد آن نسبتاً بزرگ می باشند . فیثاغوریان نخستین كسانی بودند كه روشی برای تعیین بی نهایت سه تایی عرضه كردند .
این روش را می توان با نمادهای جدید چنین بیان كرد : فرض كنیم n یك عدد فرد بزرگتر از 1 باشد و
سه تایی (x,y,z) حاصل همیشه یك سه تایی فیثاغوری است كه در آن z=y+1 . چند نمونه از آن عبارتند از : 19 17 15 13 11 9 7 5 3 X180 144 112 84 60 40 24 12 4 Y181 145 113 85 1 41 25 13 5 Zعلاوه بر اینها ، سه تاییهای فیثاغوری دیگری نیز وجود دارند ؛ به عنوان مثال :
20 16 12 8 X99 63 35 15 Y101 65 37 17 Zدر این مثالها داریم z=y+2 . افلاطون (349-430 ق. م) روشی برای تعیین همه این سه تایی ها بدست آورد ؛ این سه تایی ها در نمادگذاری جدید با فرمولهای زیر بیان می شوند :
حدود 300 ق م واقعه مهمی در تاریخ ریاضیات رخ داد. ظهور اصول اقلیدس ، مجموعه ای مركب از 13 كتاب ، ریاضیات را از علم معانی رمزی اعداد به یك علم استنتاجی بدل ساخت . اقلیدس اولین كسی بود كه حقایق ریاضی را همراه با برهانهای دقیق آنها عرضه كرد. سه كتاب از سیزده كتاب (كتابهای X , IX , VII ) به نظریه اعداد اختصاص دارند. در كتاب IX اقلیدس وجود بینهایت عدد اول را ثابت می كند. اثباتش هنوز در كلاسهای درسی تدریس می شود.
او در كتاب X روشی برای بدست آوردن همه سه تاییهای فیثاغوری ارائه می دهد، اما دلیلی بر اینكه روشش جمیع آنها را بدست می دهد نمی آورد. این روش را می توان در فرمولهای زیر خلاصه كرد :
x = t(a2-b2), y = 2tab, z = t (a2+b2),كه در آنها b , a , t اعداد صحیح مثبت دلخواهی هستند بطوری كه a>b ، a , b عامل اول مشترك ندارند و یكی از a , b فرد و دیگری زوج است .
همچنین ، اقلیدس در مسئله دیگری كه فیثاغوریان طرح كرده بودند و آن یافتن همه اعداد تام بود تحقیقات مهمی انجام داد . عدد 6 را یك عدد تام می گفتند زیرا 6 = 3 + 2 + 1 ، یعنی مساوی مجموع تمام مقسوم علیه های واقعی خود ( یعنی ، مجموع تمام مقسوم علیه های كوچكتر از 6 ) بود . مثالی دیگر از اعداد تام 28 است .
زیرا 28 = 1+2+4+7+14 و 1،2،4،7و14 مقسوم علیه های 28 هستند كه از 28 كوچكترند . یونانیان مقسوم علیه های واقعی یك عدد را “فرازهای” آن عدد می خواندند . آنان 6 و 28 را اعداد تام می گفتند ، از آن جهت كه هر یك مساوی مجموع فرازهای خود می باشد .
در كتاب ix ، اقلیدس همه اعداد تام زوج را به دست می دهد . وی ثابت كرده است كه یك عدد زوج تام است اگر به شكل 2p-1(2p-1) بوده و در آن 2p-1,p هر دو اول باشند . دو هزار سال بعد ، اویلز عكس قضیه اقلیدس را ثابت كرد . یعنی ، ثابت كرد كه هر عدد تام زوج باید از نوع اقلیدس باشد . مثلاً برای 6 و 28 داریم :
28 = 23-1(23-1) = 47 , 6 = 22-1(22-1) = 23اولین پنج عدد تام زوج عبارتند از :6 ، 28 ، 496 ، 8128 و 336 ، 550 ، 33در واقع ، اعداد تام بسیار نادرند . فقط 24 عدد تام شناخته شده است . اینها در فرمول اقلیدس نظیر به مقادیر زیر از p اند :
2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127,521,607,1279,2203,2281,3217,4253,4423,9689,9941,11,213,19,937اعداد به شكل 2p-1 كه در آن p عدد اول است ، به افتخار مرسن كه آنها را در 1644 مطالعه كرد اعداد مرسن نام یافته اند و با Mp نموده می شوند . ثابت شده است كه Mp به ازای 24 عدد اول مذكور در بالا اول ، و به ازای مقادیر دیگر از p<257 ،
جز احتمالاًp = 157,167,193,199,227,229مركب است . در مورد این اعداد هنوز معلوم نشده كه Mp اول است یا مركب . تاكنون هیچ عدد تام فرد بدست نیامده است ؛حتی از وجود آنها نیز اطلاعی در دست نیست . اما ، اگر وجود داشته باشند ، باید خیلی بزرگ باشند : در واقع ، بزرگتر از 1050 .
حال به شرح مختصر تاریخ نظریه اعداد از زمان اقلیدس تا امروز می پردازیم . بعد از اقلیدس در 300 ق. م پیشرفت چشمگیری در نظریه اعداد صورت نگرفت تا حدود 250 ب. م كه ریاضیدان دیگر یونانی ، دیوفانتوس اهل اسكندریه 13 كتاب منتشر كرد كه فقط شش تای آنها بجای مانده است . این اولین اثر یونانی است كه در آن از علایم جبری به نحو اصولی استفاده شده است .
با اینكه نمادهای جبریش در مقایسه با نمادهای فعلی خامند ، دیوفانتوس توانسته بعضی از معادلات جبری دو یا سه متغیره را حل نماید . بسیاری از مسائل آن از نظریه اعداد مایه گرفته اند و در نتیجه جستجوی جوابهای صحیح معادلات برایش امری طبیعی بوده است . امروزه معادلاتی كه حلشان مستلزم یافتن جوابهای صحیح است ،
معادلات دیوفانتینی نام داشته ، و بررسی این معادلات به آنالیز دیوفانتینی شهرت دارد . معادله x2+y2 = z2 در مورد سه تایی های فیثاغوری نمونه ای از یك معادله دیوفانتینی است .
بعد از دیوفانتوس تا قرن هفده پیشرفت چندانی در نظریه اعداد حاصل نشد . اگر چه شواهدی وجود دارند كه نشان می دهند این مبحث در شرق دور ، به ویژه در هندوستان در فاصله زمانی 500 ب.م و 1200 ب.م شروع به شكوفایی كرده است .
این مبحث در قرن هفده در اروپای غربی جان گرفت و آن بیشتر بخاطر مساعی ریاضیدان برجسته فرانسوی پیر دوفرما ( 1665-1601) بود كه عموم وی را پدر نظریه جدید اعداد می دانند . فرما بسیاری از الهامات خود را از آثار دیوفانتوس گرفت . وی نخستین كسی بود كه خواص عمیق اعداد صحیح را كشف كرد . مثلاً فرما قضایای حیرت انگیز زیر را اثبات كرد :
هر عدد صحیح یك عدد مثلثی یا مجموع 2 یا 3 عدد مثلثی ، هر عدد صحیح یك عدد مربعی است یا مجموع 2،3 یا 4 عدد مربعی . هر عدد صحیح یك عدد مخمسی است یا مجموع 2،3،4 یا 5 عدد مخمسی و غیره .
همچنین فرما كشف كرد كه هر عدد اول به شكل 4n+1 نظیر 5 ، 13 ، 17 ، 29 ، 37 ، 41 و غیره مجموع دو عدد مربعی است .
مثلاً5 = 12+22 , 13 = 22+32, 17= 12+42, 29=22+52 , 37 = 12+62, 41=42+52اندكی پس از فرا ، نامهایی چون اویلر (1783-1707) لاگرانژ(1813-1736) ، لژاندر(1833-1725) ، گاوس(1855-1777) و دیریكله(1859-1805) بخاطر بسط بیشتر این نظریه به شهرت رسیدند . اولین كتاب درسی در نظریه اعداد به وسیله لژاندر در 1798 منتشر شد . سه سال بعد ، گاوس Disquisitiones Arithemeticae را انتشار داد .
كتابی كه نظریه اعداد را به یك علم اصولی و زیبا بدل كرد . گاوس با آنكه در رشته های دیگر ریاضیات و نیز در سایر علوم ، كارهای با ارزشی كرده بود ، كتاب نظریه اعداد خود را بزرگترین اثر خویش می دانست .
در صد سال اخیر ، یا بیشتر از زمان گاوس ، این مبحث پیشرفتهای زیادی در جهات مختلف داشته است . شرح انواع مسائلی كه در نظریه اعداد بررسی شده اند در چند صفحه ممكن نیست . این مبحث بسیار وسیع است و در بعضی قسمتها نیاز به معرفت عمیقی از ریاضیات عالی دارد . با اینحال ، مسائل زیادی در نظریه اعداد وجود دارند كه به آسانی قابل بیانند . برخی از آنها به اعداد اول مربوط می شوند و ما بقیه این مقدمه را به این مسائل اختصاص می دهیم .
جدول همه اعداد اول كوچكتر از 10 میلیون در 1914 توسط ریاضیدان امریكایی ، دی ، ان ، لمر منتشر شد . درست 664579 یا حدوداً عدد اول كوچكتر از 10 میلیون وجود دارد .
اخیراً دی ، اچ ، لمر ( پسر دی ، ان ، لمر ) تعداد اعداد اول كوچكتر از 10 بیلیون را حساب كرده است ؛455052512 یا حدوداً از این اعداد وجود دارد ، اگر چه تك تك آنها شناخته شده نیستند . بررسی دقیق جدول اعداد اول نشان می دهد كه توزیع آنها بسیار نامنظم است .
این جداول شكافهای عریض را بین آنها نشان می دهند . مثلاً بعد از عدد اول 111370261 عدد مركب می آیند هیچ عدد اولی بین 20831323 و 20831533 وجود ندارد . به آسانی ثابت می شود كه شكافهای عریض دلخواه بین اعداد اول مآلاً رخ خواهند داد .
از آن سو ، این جدولها نشان می دهند كه اعداد اول متوالی نظیر 3و5 یا 101 و 103 همین طور تكرار می شوند . جفتهایی از اعداد اول كه تفاضلشان 2 باشد دوقلوهای اول نام دارد . بیش از 1000 تا از این جفتها زیر 100000 و بیش از 8000 جفت زیر 1000000 وجود دارد . بزرگترین جفتی كه تا بحال شناخته شده 763139+1 و 763139-1 است . به نظر بسیاری از ریاضیدانان ، تعداد این جفتها بی نهایت است اما كسی تاكنون قادر به اثباتش نبوده است .
ولید همه این اعداد است . بعضی فرمولها اعداد اول بسیاری را به ما می دهند . مثلاً عبارت x2-x+41 به ازای x=0,1,2,3…40 اول است و نیز x2-79x+1601 به ازای x=0,1,2,…,79 اول می باشد . لیكن هیچ فرمول ساده أی از این نوع حتی اگر مكعب و توانهای بالاتر بكار روند ، نی تواند به ازای هر x اول باشد در واقع در سال 1725 ، گلدباخ ثابت كرد كه هیچ چند جمله أی از x با ضرایب صحیح نمی تواند به ازای هر x یا حتی x های به قدر كافی بزرگ ، اول باشد .
بعضی از چند جمله ایها بی نهایت عدد اول را نمایش می دهند . مثلاً وقتی x اعداد صحیح 0,1,2,3,… را بگیرد ، چند جمله ای خطی 2x+1 همه اعداد فرد و در نتیجه بی نهایت عدد اول بدست می دهد . همچنین هر یك از چند جمله ایهای 4x+3 , 4x+1 نمایش بی نهایت عدد اول است . دیریكله در یك مقاله مشهور كه به سال 1837 منتشر شد ، ثابت كرد كه اگر a,b اعداد صحیح مثبتی بدون عامل مشترك باشند ، چند جمله ای ax + b
وقتی x همه اعداد صحیح مثبت را بگیرد ، بی نهایت عدد اول بدست می دهد . این نتیجه امروزه به قضیه دیریكله در باب وجود اعداد اول در یك تصاعد عددی معروف است . برای اثبات این قضیه ، دیریكله از حیطه اعداد صحیح بیرون رفت و ابزارهایی از آنالیز نظیر حدود و پیوستگی را معرفی كرد . با این كار ، پایه های شاخه جدیدی از ریاضیات به نام نظریه تحلیلی اعداد ریخته شد ، كه در آن مفاهیم و روشهای آنالیز حقیقی و مختلط برای حل مسائل مربوط به اعداد صحیح بكار برده می شوند .
معلوم نیست آیا چند جمله أی درجه دومی مانند ax2 + bx + c با a = 0 وجود دارد كه بی نهایت عدد اول را نمایش دهد . دیریكله با استفاده از روشهای قوی تحلیلی خود ثابت كرد كه اگر a , 2b , c عامل اول مشترك نداشته باشند ، چند جمله ای درجه دوم دو متغیره
ax2 + 2bxy + cy2وقتی x,y اعداد صحیح مثبت را بگیرند ، بی نهایت عدد اول را نمایش می دهد . فرما می پنداشت كه فرمول همیشه ، به ازای n=0,1,2,… اول است . این اعداد را اعداد فرما می نامند و با Fn نشان می دهند . اولین پنج عدد فرما عبارتند از : F0=3 , F1=5 , F2=17, F3= 257, F4=65,537
و همه آنها اولند . لیكن اویلر ، در 1732 دریافت كه F5 مركب است ، در واقعF5 = 232 + 1 = ( 641 ) ( 6,700,417 ).این اعداد در هندسه مسطحه نیز مورد توجه اند . گاوس ثابت كرد كه اگر Fn اول باشد مثلاً Fn=p به كمك خط كش و پرگار می توان P ضلعی منتظم را ساخت .
ادامه خواندن مقاله تحليل اعداد
نوشته مقاله تحليل اعداد اولین بار در دانلود رایگان پدیدار شد.