مقاله در مورد راديكال زير مدول ها

 nx دارای 77 صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است فایل ورد nx  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد. این پروژه توسط مرکز nx2 آماده و تنظیم شده است توجه : در صورت  مشاهده  بهم ريختگي احتمالي در متون زير ،دليل ان کپي کردن اين مطالب از داخل فایل ورد مي باشد و در فايل اصلي nx،به هيچ وجه بهم ريختگي وجود ندارد بخشی از متن nx : چكیده:در این پایان نامه همه حلقه ها یكدار و جابجائی و همه مدول ها یكانی هستند این پایان نامه شامل یك مقدمه و هفت فصل است. فصل اول شامل هدف، پیشینه تحقیق و روش كار می باشد. فصل دوم شامل تعاریف و قضایای مقدماتی است. فصل سوم شامل خواص اساسی زیر مدول های اول است. فصل چهارم شامل خواص –M رادیكالها است هدف عمده فصل پنجم برهان قضیه زیر می باشد. قضیه 1: فرض كنیم R یك حلقه باشد. آن گاه R در فرمول رادیكال صدق می كند در صورتی كه یكی از شرایط زیر برقرار باشد.الف) برای هر -R مدول آزاد F,F در فرمول رادیكال صدق كند.ب) برای هر مدول A، .ج) R تصویر همومرفیسم S است كه S در فرمول رادیكال صدق می كند.د) برای هر R- مدول A faithful، A در فرمول رادیكال صدق كند.در فصل ششم R یك دامنه ایده آل اصلی است و A مدول آزاد Rn در نظر گرفته شده است. و هدف عمده فصل ششم و هفتم برهان قضیه زیر می باشد.قضیه 2: فرض كنیم R یك دامنه ایده آل اصلی و P, A=Rn زیر مدولی از A باشد. آن گاه عبارات زیر هم ارزند.الف: P جمعوند مستقیم A اس ت.ب: P بسته است.ج: اگر آن گاه P اول است و dim P<n . مقدمه:در سال 1991 R.L.McCasland و M.E.Moore مقاله ای تحت عنوان رادیكال های زیر مدول ها نوشتند این پایان نامه شرحی است بر مقاله فوق. فصل اول این پایان نامه شامل هدف و پیشینه تحقیق می باشد. فصل دوم شامل تعاریف و قضایای مقدماتی است. فصل سوم خواص زیر مدول های اول می باشد. فصل چهارم شامل خواص -M رادیكال ها می باشد.فصل پنجم با تعریف مفاهیم پوش یك زیر مدول یا E(B) و M-radB شروع شده است. و ارتباط بین زیر مدول های تولید شده توسط آنها با رادیكال زیر مدول ها بررسی شده و همچنین شرایط هم ارزی كه یك حلقه می تواند در فرمول رادیكال صدق كند بررسی شده است.در فصل ششم حلقه R یك حلقه PID و مدول A نیز مدول آزاد Rn در نظر گرفته شده است و نشان می دهیم اگر B زیر مدول A باشد آن گاه اگر و تنها اگر dim B=dim A و در فصل هفتم با تعریف مدول های بسته نشان داده می شود كه اگ ر R دامنه ایده آل اصلی و P , A=Rn زیر مدول A باشد آن گاه شرایط زیر هم ارزند.1) P جمعوند مستقیم A است. 2) P بسته است. 3) اگر باشد آن گاه P اول است و dim P<n . فصل اول:هدف، پیشینه تحقیق و روش كار هدف: بررسی خواص اساسی از زیر مدول های اول و خواص -M رادیكالها و هدف نهایی بررسی مفاهیم پوش یك زیر مدول و برهان قضیه 1 و 2 گفته شده در مقدمه و چكیده پایان نامه می باشد. پیشینه تحقیق و روش كار:برای گردآوری این پایان نامه از ژورنالهای مختلف ریاضی در گرایش جبر موجود در كتابخانه های معتبر مانند IPM استفاده شده است و هنوز در هیچ كتاب درسی در سطح كارشناسی ارشد و دكترا مفاهیم فوق نوشته و بررسی نشده است. فصل دوم:تعاریف و قضایای مقدماتی تعریف(1-2): مجموعه R همراه با دو عمل دوتائی + و . را یك حلقه گوئیم اگر، الف) (R , +) یك گروه آبلی باشد.ب) به ازاء R a,b,c ، a(b c) = (a b)cج) به ازاء هر R a,b,c (قانون توزیع پذیری چپ) a(b+c) = ab+ac(قانون توزیع پذیری راست) (b+c) a= ba+caتعریف(2-2): حلقه R را تعویض پذیر(یا جابجائی) گوئیم هر گاه: تعریف(3-2): اگر حلقه R نسبت به عمل ضرب دارای عضو همانی باشد آنگاه این عضو را با 1R، یا به طور ساده با 1، نمایش می دهیم و آن را یكه R می نامیم تذكر: در سراسر پایان نامه R حلقه جابجایی و یكدار فرض می شود.تذكر: اگر R حلقه ای یكدار بوده و به ازاء هر داشته باشیم ab=ba=1 آنگاه a را یك واحد(یا عضو وارون پذیری) می نامیم.تعریف(4-2): گوئیم حلقه R بدون مقسوم علیه صفر است هر گاه: یا تعریف(5-2): هر حلقه جابجائی، یكدار و بدون مقسوم علیه صفر را دامنه صحیح می نامیم.تعریف(6-2): زیر مجموعه S از حلقه R یك زیر حلقه R است اگر: تعریف(7-2): زیر حلقه I از R را ایده آل R نامیم هر گاه: تعریف(8-2): ایده آل I از حلقه R را، ایده آل سره نامند هر گاه: و می نویسیم :تعریف(9-2): ایده آل P از حلقه R را ایده آل اول نامند هر گاه: یا تعریف(10-2): اگر I یك ایده آل از حلقه R باشد آنگاه: را حلقه خارج قسمتی R بر I نامند.تذكر: اگر R جابجائی و یكدار باشد آنگاه نیز جابجائی و یكدار است.لم(11-2): فرض كنید P ایده آل حلقه R باشد آنگاه:P ایده آل اول است اگر و تنها اگر دامنه صحیح باشد. تعریف(12-2): دامنه صحیح D را دامنه ددكنید نامند هر گاه هر ایده آل آن به صورت حاصل ضرب، ایده آلهای اول باشد.تعریف(13-2): ایده آل سره M از حلقه R را ایده آل ماكزیمال نامند هر گاه M داخل هیچ ایده آل سره از R قرار نگیرد.تعریف(14-2): فرض كنیم R حلقه جابجائی و یكدار باشد. در این صورت R را یك میدان نامیم هر گاه هر عضو ناصفر آن دارای وارون ضربی باشد.لم(15-2): فرض كنیم R حلقه و M ایده آلی از حلقه R باشد آنگاه:M یك ایده آل ماكزیمال R است اگر و تنها اگر میدان باشد. تعریف(16-2): فرض كنیم X زیر مجموعه ای از حلقه R باشد. فرض كنیم خانواده همه ایده آلهای R شامل X باشد. آنگاه را ایده آل تولید شده توسط X نامیده و با علامت(X) نمایش می دهند.تذكر: علامت X مولدهای ایده آل(X) نامیده می شود.اگر در این صورت گویند(X) یك ایده آل متناهیا تولید شده است.تذكر: در حالت خاص وقتی كه X={a} باشد داریم: تعریف(17-2): حلقه R را یك حوزه ایده آل اصلی نامیم هر گاه R حوزه صحیح باشد و هر ایده آل آن توسط یك عضو تولید شود.تعریف(18-2): در حلقه R، گوئیم عنصر b,a را می شمارد و می نویسیم a | b هر گاه: تعریف(19-2): عنصر p را در حلقه R اول گوییم هر گاه: یا تعریف(20-2): حلقه R را حوزه تجزیه یكتا گویند هر گاه R حوزه صحیح باشد و هر عضو آن را بتوان به صورت حاصلضرب متناهی و منحصر بفرد از عناصر اول نوشت.تعریف(21-2): ایده آل P از حلقه R را یك ایده آل اولیه نامیم هر گاه اولا و ثانیا تعریف(22-2): فرض كنیم I ایده آل حلقه R باشد. رادیكال ایده آل I را به صورت نمایش می دهند و عبارت است از: لم(23-2): اگر R یك حلقه و I ایده آلی از حلقه R باشد در اینصورت كه در آن P ایده آل اول حلقه R و شامل I است.لم(24-2): اگر P یك ایده آل اولیه باشد آنگاه رادیكال P یك ایده آل اول است. تعریف(25-2): فرض كنیم Q یك ایده آل اولیه باشد و داشته باشیم ، آنگاه گوئیم Q یك ایده آل -P اولیه است.مثال(26-2): در حلقه Z از اعداد صحیح به ازاء هر عدد اول p ایده آل تولید شده توسط p كه آن را به صورت(p) نمایش می دهیم یك ایده آل اول است. مثال(27-2): ایده آلهای (p4) , (p3) , (p2) و ; و ایده آلهای اولیه هستند زیرا: پس (pn) یك -(p) اولیه است.تعریف(28-2): عنصر a در حلقه R را خودتوان گوئیم هر گاه a2=a. تعریف(29-2): ایده آل I از حلقه R را ایده آل رادیكال نامند هر گاه .تعریف(30-2): فرض كنیم R’ . R دو حلقه باشند نگاشت را یك همومورفیسم حلقه نامند هر گاه: تذكر: اگر f پوشا نیز باشد یك اپی مرفیسم و اگر f یك به یك باشد آنگاه f یك منومورفیسم نامیده می شود.تعریف(31-2): اگر f اپی مرفیسم و منومرفیسم باشد آنگاه f یك ایزومرفیسم نامیده می شود.تعریف(32-2): فرض كنیم R یك حلقه یكدار و M گروهی آبلی باشد. اگر تابعی مانند موجود باشد به قسمی كه در شرایط زیر صدق كند گوئیم M یك -R مدول چپ است. تذكر: -R مدول راست مشابها تعریف شود.تعریف(33-2): فرض كنیم M یك -R مدول، و N زیر مجموعه غیر تهی از M باشد در اینصورت گوئیم N زیر مدول M است و می نویسیم هر گاه: (1 (2 تعریف(34-2): منظور از زیر مدول تولید شده توسط m از -R مدول M، مجموعه ای به صورت زیر است: تعریف(35-2): فرض كنیم P یك زیر مدول از -R مدول M باشد. گوئیم P زیر مدول سره M است هر گاه باشد.تعریف(36-2): فرض كنیم R یك حلقه و F یك -R مدول باشد. در اینصورت گوئیم F یك -R مدول آزاد است هر گاه خانواده از عناصر F موجود باشد به قسمی كه هر عضو F را بتوان به صورت منحصر به فرد از تركیبات خطی این عناصر نوشت. بعبارت دیگر: تعریف(37-2): فرض كنیم M و N دو R مدول باشند. در اینصورت نگاشت f از M به توی N را یك همریختی R- مدولی بین M و N نامید هر گاه شرایط زیر برقرار باشد: تعریف(38-2): اگر یك همریختی -R مدولهای M و N باشد منظور از هسته f و تصویر f مجموعه هایی به شكل زیر هستند: لم(39-2): اگر یك همزیختی -R مدولی باشد در اینصورت Kerf , Imf به ترتیب زیر مدولهای N و M هستند.قضیه(40-2): فرض كنیم یك همریختی -R مدولی باشد و فرض كنیم A زیر مدول M و B زیر مدول N باشد. در اینصورت f(A) و f-1(B) به ترتیب زیر مدولهای N و M هستند و بالاخره: قضیه(41-2): اگر یك اپی مرفیسم باشد در اینصورت تناظری یك به یك بین زیر مدولهای A از M كه شامل Kerf هستند و زیر مدولهای B از N برقرار است و این تناظر، حافظ جزئیت است یعنی: تعریف(42-2): فرض كنیم A یك -R مدول و P زیر مدول آن باشد. گوییم P زیر مدول اول A است هر گاه باشد و برای و از بتوانیم نتیجه بگیریم كه .تعریف(43-2): زیر مدول N از -R مدول M را اولیه نامند هر گاه:1) N زیر مدول سره M باشد.2) یا تعریف(44-2): فرض كنیم R یك حلقه و B یك -R مدول باشد. در اینصورت پوچساز B مجموعه ای به صورت زیر می باشد: تعریف(45-2): -R مدول M را تابدار گویند هر گاه برای هر عضو مخالف صفر M مثل .تعریف(46-2): -R مدول M را بدون تاب گوئیم هر گاه برای هر و برای هر ، اگر داشته باشیم rm=0 بتوان نتیجه گرفت كه r=0 یا m=0 .تعریف(47-2): -R مدول M را متناهیا تولید شده گویند هر گاه اعضاء در M موجود باشد به طوریكه هر عضو M را بتوان به صورت تركیب خطی از این عناصر با ضرایب در R نوشت.تعریف(48-2): فرض كنیم R حلقه و M یك -R مدول باشد. در اینصورت گوئیم M در شرط زنجیری صعودی(A.C.C) برای زیر مدولهایش صدق می كند هر گاه هر زنجیر صعودی از زیر مدولهایش ایستا باشد. یعنی برای هر زنجیر صعودی به صورت زیر: ی موجود باشد بطوریكه برای هر k كه داشته باشیم Mn=Mk .تعریف(49-2): حلقه R را یك حلقه نوتری می گوئیم هر گاه هر زنجیر صعودی از ایده آل هایش ایستا باشد یعنی اگر: یك زنجیر صعودی دلخواه از ایده آلهای R باشد آنگاه موجود باشد، به طوریكه برای هر داشته باشیم: تعریف(50-2): حلقه R را آرتینی می گوئیم هر گاه هر زنجیر نزولی از ایده آل هایش ایستا باشد یعنی اگر یك زنجیر نزولی دلخواه از ایده آلهای R باشد آنگاه موجود باشد، به طوریكه برای هر داشته باشیم:Ak=Anتعریف(51-2): فرض كنیم R یك حلقه و یك خانواده از -R مدولها باشد و {fi} یك خانواده از همریختی های -R مدولی بین Mi و Mi-1 باشد. در اینصورت رشته: را دقیق گویند هر گاه Imfi+1=kerfi .تعریف(52-2): -R مدول P را تصویری گویند هر گاه برای هر رشته دقیق مثل و هر همومرفیسم یك همریختی بین P و A مثل موجود باشد به قسمی .تعریف(53-2): -R مدول M را ضربی گویند هر گاه برای هر زیر مدول N از M یك ایده آل از حلقه R مانند I موجود باشد بطوریكه N=IM.تعریف(54-2): -R مدول M را یكانی گویند هر گاه برای هر داشته باشیم: .تعریف(55-2): فرض كنیم M یك -R مدول و N زیر مدول M باشد. در اینصورت گویند N جمعوند مستقیم M است هر گاه زیر مدول N’ از M موجود باشد به قسمتی كه: تعریف(56-2): -R مدول M را صادق گویند هر گاه AnnM=0.تعریف(57-2): فرض كنیم R حلقه جابجائی و I ایده آل R باشد. یك تجزیه اولیه برای I بصورت است بطوریكه Qiها، -Pi اولیه باشند. این تجزیه را تجزیه اولیه كاهش یافته نامیم هر گاه شرایط زیر برقرار باشد:1) P1، ;;..، Pn، n ایده آل اول متمایز R باشند.2) به ازاء هر j=1,2,…..,n داشته باشیم .قضیه(58-2): فرض كنیم R حلقه جابجائی و یكدار بوده و B یك -R مدول باشد كه در شرط A.C.C روی زیر مدولهایش صدق می كند. در این صورت هر زیر مدول A از B، یك تجزیه اولیه كاهش یافته دارد. لم(59-2): فرض كنیم R حلقه جابجائی و یكدار و B یك -R مدول باشد در این صورت اگر زیر مدول C از B دارای تجزیه اولیه باشد آنگاه C دارای تجزیه اولیه كاهش یافته است.لم(60-2): هر -R مدول تصویر همریخت یك -R مدول آزاد است.برهان: فرض كنیم M یك -R مدول باشد و عناصر M را توسط مجموعه ، اندیس گذاری كرده و بدین ترتیب FM كه مجموعه ای به صورت زیر است به عنوان یك -R مدول آزاد در نظر گرفته می شود. پس هر عضو FM به صورت می باشد كه در آن و . اكنون تابع را با ضابطه زیر تعریف می كنیم: به وضوح خوش تعریف و همریختی پوشا از FM به M می باشد.لم(61-2)(قانون مدولی ددكیند): فرض كنیم A و B و C زیر مدولهایی از -R مدول M بوده و فرض كنیم باشد. در این صورت داریم: برهان: ابتدا فرض كنیم در این صورت و .چون است لذا و موجود است به قسمی كه x=b+c. از آنجاییكه است لذا . اما و و A یك زیر مدول است لذا است لذا و می باشد. پس است یعنی .برعكس: فرض كنیم باشد لذا و موجود است به قسمی كه x=b+c اما و از طرفی لذا می باشد. پس و لذا .تعریف(62-2): را یك مجموعه مرتب جزئی می گوئیم هر گاه سه خاصیت زیر برقرار باشد: تعریف(63-2): فرض كنیم یك مجموعه مرتب جزئی باشد و یك زیر مجموعه در اینصورت عضو u از را یك كران بالا برای می گویند اگر برای هر ، داشته باشیم .تعریف(64-2): رابطه روی را مرتب كلی می گوئیم اگر مرتب جزئی باشد و برای هر x و y كه در قرار دارند همواره یا .لم زرن(65-2): فرض كنیم یك مجموعه مرتب جزیی و با ترتیب كلی باشد( دلخواه است)، در این صورت اگر دارای كران بالا در باشد آنگاه دارای عضو ماكزیمال است.تعریف(66-2): یك -R مدول ساده است هر گاه تنها زیر مدول های M، M,{0} باشند، N زیر مدول ماكزیمال M است اگر و تنها اگر یك -R مدول ساده باشد.تعریف(67-2): فرض كنیم M یك -R مدول و N زیر مدول M باشد. مجموعه از R را با (N:M) نمایش می دهیم كه در حالت خاص اگر N=0 آن گاه را نابود ساز M می نامیم و آن را با نمایش می دهیم.لم(68-2): (N:M) ایده آلی روی R است.تعریف(69-2): فرض كنیم M یك R- مدول بوده و P ایده آل اول R باشد P را وابسته به M گوئیم هر گاه وجود داشته باشد و به طوری كه . مجموعه همه ایده آلهای اول وابسته به M را با AssR(M) نمایش می دهیم. فصل سوم:خواص اساسی از زیر مدولهای اول خواص اساسی از زیر مدولهای اول(1-3) تعریف: فرض كنیم R یك حلقه و M یك -R مدول باشد. زیر مدول حقیقی N از -R مدول M را اول یا(-P اول) گوییم هر گاه برای هر r از R و برای هر m از M كه داشته باشیم: یا . به سادگی دیده می شود كه P=(N:M) یك ایده آل اول است.(2-3) تعریف: فرض كنیم M یك -R مدول و N زیر مدول M باشد. N را جمعوند مستقیم M گوییم هر گاه برای بعضی زیر مدول N’ از M .(3-3) تعریف: فرض كنیم A یك دامنه صحیح و M یك -A مدول باشد. یك عضو را عضو تابدار گوییم اگر یعنی توسط عناصر غیرصفر A خنثی می شود. عضوهای تابدار M تشكیل زیر مدول از M می دهند. این زیر مدول كه زیر مدول تابدار نام دارد با T(M) نشان داده می شود.(4-3) تعریف: اگر T(M)=0 مدول M را مدول فارغ از تاب می نامیم.(5-3) مثال: هر جمعوند مستقیم از یك مدول فارغ از تاب اول است. به ویژه هر زیر فضای حقیقی از یك فضای برداری اول است.برهان: فرض كنیم M مدولی فارغ از تاب و N یك جمعوند مستقیم آن باشد لذا داریم: (K زیر مدول دلخواه M) در نتیجه . فرض كنیم نتیجه می گیریم . از آنجایی كه و متعلق به N هستند پس نیز متعلق به N می شود. همچنین پس . لذا پس در نتیجه یعنی نتیجه می گیریم فرض كنیم . داریم لذا . M مدول فارغ از تاب است، پس .لذا پس . لذا N زیر مدول اول است. به ویژه چون هر فضای برداری یك مدول فارغ از تاب است و هر زیر فضای آن نیز جمعوند مستقیم است پس هر زیر فضای یك فضای برداری اول است.(6-3) تعریف: فرض كنیم M یك -R مدول باشد، زیر مدول N از M را محض گوییم هر گاه به ازای هر ، .(7-3) نتیجه: زیر مدول حقیقی N از -R مدول فارغ از تاب M، محض است اگر و تنها اگر N اول باشد و N:M={0}.برهان: فرض كنیم M یك -R مدول فارغ از تاب باشد لذا T(M)=0 و N زیر مدول حقیقی M باشد كه محض است. پس داریم به ازای هر . نشان می دهیم N اول است. فرض كنیم و لذا پس لذابرای بعضی nهای متعلق به N M مدول فارغ از تاب است پس r=0 لذا پس N زیر مدول اول است. حال نشان می دهیم N:M={0}. فرض كنیم متعلق به N:M باشد، آنگاه لذا . از طرفی پس rN=rM فرض كنیم لذا وجود دارد nای متعلق به N كه rm=rn در نتیجه r(m-n)=0 و و M مدول فارغ از تاب است پس m-n=0 در نتیجه m=n پس ، از طرفی پس N=M كه به تناقض می رسیم زیرا N زیر مدول حقیقی M است این تناقض ناشی از فرض نادرست پس N:M={0}.برعكس: فرض می كنیم N زیر مدول حقیقی از -R مدول فارغ از تاب M باشد و N اول باشد و N:M={0}. نشان می دهیم N زیر مدول محض است یعنی به ازای هر داریم اگر r=0 حكم برقرار است. فرض كنیم باشد. در نظر می گیریم در نتیجه وجود دارد mای متعلق به M به طوری كه x=rm همچنین . لذا ، N زیر مدول اول است لذا یا . چون لذا پس یعنی .حال فرض كنیم لذا وجود دارد n ای متعلق به N كه x=r n و پس زیر مدول است بنابر تعریف(33-2) لذا پس . از I و II نتیجه می شود یعنی N زیر مدول محض M است. (8-3) مثال: زیر مدول تابدار T(M) از مدول M روی یك دامنه صحیح اول است اگر .برهان: . پس T(M) زیر مدول حقیقی M است. حال فرض كنیم و عضوهایی از M را در بر دارد كه پوچساز آنها غیرصفر باشد لذا . پس وجود دارد ای متعلق به R كه a(re)=0 پس (ar)e=0 و چون لذا Ann(e)=0 پس داریم ar=0 ( دامنه صحیح) پس داریم r=0 لذا یعنی T(M) اول است.(9-3) مثال: فرض كنیم B ابر حلقه، حلقه A باشد یعنی . در این صورت برهان: چون ، پس B می تواند یك -A مدول باشد(بنا به تعریف(32-2) و چون P ایده ال اول B است لذا P زیر مجموعه حقیقی B است(بنا به تعریف(9-2)داریم {به ازای هر }= P:ABفرض كنیم (P ایده ال اول) به ازای هر ، ، و(بنا به تعریف(7-1)) حال فرض كنیم(P ایده ال اول B) به ازای هر (10-3) تعریف: مجموعه شامل همه مقسوم علیه های صفر روی M را با ZR(M) نمایش می دهیم. به عبارت دیگر داریم:{ وجود داشته باشد متعلق به M كه (11-3) مثال: {0} زیر مدول اول از -R مدول M است اگر و تنها اگر AnnR(M)=ZR(M).برهان: فرض كنیم {0} زیر مدول اول از -R مدول M باشد نشان می دهیم AnnR(M)=ZR(M). قبل از اینكه حكم را ثابت كنیم نكته ای را بیان می كنیم:نكته: اگر N زیر مدولی از -R مدول M باشد داریم N:RM=AnnR(M/N) برهان: داریم فرض كنیم لذا داریم r(M/N)=0M/N پس r(m+N)=0 به ازای هر .پس به ازای هر لذا پس به همین ترتیب لذا AnnR(M/N)=N:RM حال به اثبات مثال می پردازیم.فرض كنیم پس rM=0 یعنی rm=0 به ازای هر . {0} زیر مدول اول M است پس {0} زیر مدول حقیقی M است، لذا وجود دارد متعلق به M كه rm0=0 پس لذا حال فرض كنیم پس وجود دارد متعلق به M كه {0}.rm=0 زیر مدول اول و پس از طرفی بنا بر نكته گفته شده (0):M=AnnR(M) پس یعنی پس طبق I و II داریمAnnR(M)=ZR(M)برعكس: فرض كنیم AnnR(M)=ZR(M). ثابت می كنیم {0} زیر مدول اول است. زیرا اگر M={0} آن گاه ZR(M)={ } و AnnR(M)=R و در حالی كه طبق فرض داریم R=AnnR(M)=ZR(M)={ }. پس حتما {0} زیر مدول حقیقی M است. حال فرض كنیم یعنی لذا پس . پس {0} زیر مدول اول -R مدول M است.(12-3) گزاره: a) فرض كنیم N زیر مدول اولیه از -R مدول M باشد آنگاه N اول است اگر و تنها اگر N:M ایده ال اول R باشد.b) اگر k زیر مدول -P اولیه از M باشد كه شامل یك زیر مدول -P اول است آنگاه k نیز -P اول است.برهان: (a)- فرض كنیم N زیر مدول اول -R مدول M باشد، ثابت می كنیم N:M ایده ال اول است. را در نظر می گیریم كه . پس به ازای هر . فرض كنیم ، لذا وجود دارد كه پس لذا و N اول است پس یا ولی ما فرض كردیم پس و N اول است پس یا ولی زیرا اگر باشد چون N زیر مدول M است می شود كه با (*) تناقض دارد. لذا حتما . پس N:M ایده ال اول حلقه R است.برعكس: فرض كنیم N زیر مدول اولیه باشد و N:M ایده ال اول R باشد. نشان می دهیم N زیر مدول اول است. در نظر می گیریم ، چون N اولیه است وجود دارد عدد صحیح مثبتی چون k كه یعنی كه به ازای هر لذا ایده ال اول است پس لذا N زیر مدول اول است.b) K زیر مدول -P اولیه از M و شامل زیر مدول -P اول است. فرض كنید كه در آن . در این صورت عدد صحیح و مثبت مانند m وجود دارد بطوریكه یعنی . بنابراین . اما نتیجه می دهد و بنابراین . بطور خلاصه و نتیجه می دهد و لذا K یك زیر مدول اول از M است بنابراین K:M=Rad(K:M)=P، یعنی K یك زیر مدول -P اول از M است. (13-3) تعریف: فرض كنیم R یك حلقه باشد. اگر به ازای هر وجود داشته باشد xی متعلق به R به طوری كه axa=a آنگاه حلقه R را مطلقا مسطح می گوییم.(14-3) تذكر: بنا به آنچه در [7] صفحه 169، تمرین 12 آمده است هر ایده ال اولیه از یك حلقه مطلقا مسطح اول است.(15-3) نتیجه: اگر M یك مدول روی حلقه مطلقا مسطح R باشد آن گاه هر زیر مدول اولیه از M اول است. برهان: N زیر مدول اولیه M است و حلقه R، مطلقا مسطح است لذا بنا بر تذكر(14-3) N:M ایده ال اول است.فرض كنیم چون N اولیه است، وجود دارد عدد صحیح مثبتی چون k به طوری كه لذا به ازای هر پس و N:M ایده ال اول است پس لذا N زیر مدول اول است.(16-3) قضیه: فرض كنید N زیر مدول حقیقی از -R مدول M باشد و N:M=P. آن گاه احكام زیر معادلند:a) N یك زیر مدول اول از M است.b) M/N یك –R/P مدول فارغ از تاب است.c) N:M(r)=N به ازای هر r متعلق به R-P.d) N:MJ=N به ازای هر ایده ال J زیر مجموعه P نباشد.e) N:R(e)=P به ازای هر e متعلق به M-N.f) N:RL=P به ازای هر زیر مدول L از M كه به طور حقیقی شامل N .g) Ass(M/N)={P}.h) P=ZR(M/N).برهان: زیر مدول حقیقی M و P=N:M و N زیر مدول اول است. نشان می دهیم M/N یك –R/P مدول است. زیرا لذا به ازای هر i.حال نشان می دهیم M/N مدول فارغ از تاب است. فرض كنیم در نتیجه پس وجود دارد به طوری كه و چون و N اول است پس . بنابراین r+P=P در نتیجه AnnR/P(m+N)=0 لذا مدول M/N یك، -R/P مدول فارغ از تاب است. .فرض كنیم M/N یك –R/P مدول فارغ از تاب است یعنی T(M/N)=0 نشان می دهیم N:M(r)=N به ازای هر r متعلق به R-P. چون پس كه P=0R/P داریم. اما بنا بر فرض خلف و M/N فارغ از تاب است.AnnR/P(m+N)=0بنابراین r+P=P یعنی كه یك تناقض است لذا .فرض كنیم J یك ایده ال از حلقه R باشد بطوریكه لذا عضوی مانند موجود است. اكنون . فرض كنید یعنی و به ویژه و لذا اما و لذا بنابر بنابراین در نتیجه . .داریم N:MJ=N به ازای هر نشان می دهیم N:R(e)=P به ازای هر . فرض كنیم یعنی به ازای هر لذا . چون پس به ازای هر j پس به ازای هر j. لذا در نتیجه یعنی حال فرض كنیم در نتیجه . طبق فرض در نتیجه لذا لذا وجود دارد jای به طوری كه از طرفی) (e پس یعنی به ازای هر j لذا به ازای j=1 داریم . چون حلقه R جابجایی است لذا در نتیجه و و ; یعنی به ازای هر j كه با (*1) تناقض دارد. این تناقض ناشی از فرض نادرست است لذا یعنی فرض زیر مدول M باشد، وجود دارد پس بنا بر فرض اكنون بنابراین N:L=P فرض كنیم به ازای هر زیر مدول L از M به طور حقیقی شامل N، N:RL=p نشان می دهیم N زیر مدول اول است. زیر اگر داریم لذا پس یعنی لذا به همین ترتیب عكس این مطلب نیز درست است و لذا (*) برقرار است.از طرفی N:N=R پس لذا N زیر مدول اول است ما باید دو مطلب را ثابت كنیم.ابتدا اینكه P یك ایده ال اول حلقه R است و دوم اینكه Ass(M/N)={P} قبلا از اثبات شده است لذا P ایده ال اول حلقه R است. اكنون فرض كنیم . در اینصورت از طرف دیگر چون پس و بنابر فرض بنابراین و لذا Ass(M/N)=P . .فرض كنیم Ass(M/N)={P}، نشان می دهیم P=ZR(M/N). از فرض نتیجه می شود وجود دارد به طوری كه AnnR(x)=P. و زیرا اگر m+N=N آن گاه AnnR(x)=R=P یعنی N:RM=R لذا N=M كه مخالف فرض گزاره است.پس لذا پس حال فرض كنیم لذا وجود دارد طوری كه لذا و چون Ass(M/N)={P} لذا لذا . . .فرض كنیم P=ZR(M/N)={وجود داشته باشد كه } نشان می دهیم N زیر مدول اول است. لذا پس N زیر مدول اول است.(17-3) گزاره: اگر N یك زیر مدول از -R مدول M بوده و P=N:M یك ایده ال ماكزیمال R باشد. آن گاه N زیر مدول اول است. بویژه m M یك زیر مدول اول از –R مدول M است، برای هر ایده ال ماكزیمال m از R به طوری كه .برهان: فرض كنیم N:M=P یك ایده ال ماكزیمال R باشد، لذا R/P یك میدان است و M/N یك –R/P مدول است زیرا: لذا M/N به عنوان یك فضای برداری روی میدان R/P می تواند در نظر گرفته شود. همچنین M/N یك –R/P مدول فارغ از تاب است زیرا وجود دارد به طوری كه (r+P) (m+N)=0M/Nطبق خواص فضای برداری m+N=0 لذا یعنی T(M/N)=N=0M/N لذا بنابر قضیه(16-3)، N زیر مدول اول است.تذكر: N زیر مدول حقیقی M است زیرا اگر N=M آن گاه P=N:M=R كه با ماكزیمال بودن P در تناقض است.حالت خاص: فرض كنیم m یك ایده ال ماكزیمال R باشد. آن گاه mM یك زیر مدول اول M است اگر باشد، طبق فرض داریم mM زیر مدول حقیقی M است.{ به ازای هر m’ متعلق به به ازای هر ( زیرا اگر mM:M=R آن گاه R M=mM و R حلقه یكدار است لذا M=mM كه با فرض در تناقض است) ولی m ایده ال ماكزیمال حلقه R است پس از رابطه(*) نتیجه می شود m=mM:M=P و چون m ایده ال ماكزیمال است لذا P، هم ماكزیمال می شود پس بنا به قسمت اول گزاره mM زیر مدول اول است.(18-3) نكته: در [4]، صفحه 200 و گزاره 9 آمده است اگر M یك –R مدول نوتری و m یك ایده ال ماكزیمال باشد آن گاه زیر مدول حقیقی از M یك زیر مدول –m اولیه است اگر و تنها اگر برای بعضی kهای صحیح مثبت. حال گزاره ای را بیان می كنیم كه نتیجه(17-3) می باشد و مشابه گزاره 9، صفحه 200 در [4] است.(19-3) گزاره: فرض كنیم N زیر مدول حقیقی از –R مدول M باشد و فرض كنیم m ایده ال ماكزیمال R باشد، در اینصورت N، -m اول است اگر و تنها اگر . در نتیجه اگر N یك زیر مدول –m اول باشد، آن گاه هر زیر مدول حقیقی M شامل N نیز –m اول است.برهان: طبق فرض داریم N زیر مدول حقیقی M و m ایده ال ماكزیمال R است.فرض كنیم N، -m اول باشد نشان می دهیم .m=N:M و N زیر مدول اول است لذا بنا بر گزاره(12-3) قسمت a N:M ایده ال اول است. فرض كنیم .و N، -m اول است لذا به ازای هر داریم لذا به ازای هر داریم لذا یعنی پس داریم برعكس: فرض كنیم ایده آل ماكزیمال و N زیر مدول حقیقی M باشد نشان می دهیم N زیر مدول –m اول است.{به ازای هر k متعلق به M و }= N:Mدر گزاره(17-3) نشان دادیم كه m=mM:M، همچنین داریم لذا پس ایده ال ماكزیمال است لذا N:M=R یا m=N:M اگر N:M=R داریم و R حلقه یكدار پس و لذا M=N كه با فرض در تناقض است. لذا m=N:M پس N:M ماكزیمال است لذا بنا برگزاره(17-3)، N زیر مدول اول است و چون m=N:M، لذا N، -m اول است اگر k زیر مدول حقیقی M باشد كه N را در بر داشته باشد چون N، -m اول است پس در نتیجه و m ایده ال ماكزیمال لذا k نیز –m اول می شود.برای اثبات گزاره(20-3) دو گزاره كه به ترتیب در صفحات 29 و 32 در [5] مطرح شده است را بیان می كنیم.گزاره(1): فرض كنید M یك –R مدول و N یك زیر مجموعه غیر تهی از M باشد آن گاه احكام زیر معادلند:a) N زیر مدول M است.b) RN=N.c) به ازای هر و به ازای هر .برهان: طبق تعریف زیرمدول و تعریف RN معادل بودن احكام فوق بدیهی است.گزاره(2): فرض كنیم M یك –R مدول چپ غیر صفر با مجموعه مولد متناهی باشد. آن گاه هر زیر مدول حقیقی از M مشمول یك زیر مدول ماكزیمال است. بویژه M زیر مدول ماكزیمال دارد.برهان: فرض كنید k زیر مدول حقیقی M باشد. وجود دارد دنباله متناهی از اعضای M مثل x1,x2,…,xn به طوری كه M=K+Rx1+…+Rxn فرض كنیم دنباله x1,x2,…,xn كوتاهترین دنباله ای است كه همراه با k، M را تولید می كند قرار می دهیم L,L=K+Rx2+…+Rxn زیر مجموعه حقیقی M است زیرا دنباله x2,…,xn دنباله ای كوتاهتر از x1,x2,…,xn است. قرار می دهیم P را مجموعه همه زیر مدولهای حقیقی M شامل L,L زیر مجموعه حقیقی M است و شامل L نیز هست لذا و در اینصورت P غیرتهی است.P با رابطه یك مجموعه مرتب به ترتیب جزیی است. (رجوع شود به(62-2)زیر مدول N از M شامل L واقع در P است اگر و تنها اگر زیرا اگر آنگاه N زیر مدول حقیقی M و شامل L است. لذا . اگر در اینصورت N زیر مدول حقیقی M و شامل L است. پس حتما زیرا اگر آن گاه N=M كه تناقض است. فرض كنیم یك زنجیر غیرتهی از مجموعه مرتب به ترتیب جزیی P باشد. قرار می دهیم .ادعا: V زیر مدول M است. برهان: فرض كنید در اینصورت لذا از آنجایی كه یك زنجیر است لذا و چون Ny زیر مدول M است. لذا بنا بر گزاره(1) داریم لذا . پس V زیر مدول M است. x1 در هیچ یك از اعضای زنجیر وجود ندارد لذا نشان دادیم كه هر زنجیر غیرتهی در P یك كران بالا در P دارد كه همان اجتماع است. لذا بنا به اصل ماكزیمال، P دارای یك عضو ماكزیمال است. مانند N، لذا زیر مدولی از M كه از N بزرگتر باشد. در ضمن x1 را هم شامل نباشد در P وجود ندارد در نتیجه .پس N زیر مدول حقیقی ماكزیمال M شامل k است. در حالت خاص قرار می دهیم k=0.(20-3) گزاره: اگر N زیر مدول ماكزیمال –R مدول M باشد آن گاه N زیر مدول اول بوده و N:M ایده ال ماكزیمال R است.برهان: از آنجایی كه N زیر مدول ماكزیمال است پس N زیر مدول حقیقی M است و همچنین M/N یك –R مدول ساده است(رجوع شود به (66-2) پس دوری می شود یعنی وجود دارد به طوری كه حال تعریف می كنیم. f همومورفیزم پوشاست زیرا: به ازای هر واضح است كه تابع f پوشاست. بنابر قضایای همومورفیزم داریم:(mR ساده) اگر P=ker f آن گاه P ایده ال ماكزیمال R است. پس N:M ایده ال ماكزیمال است لذا بنا بر گزاره(17-3)، N زیر مدول اول است.(21-3) نتیجه: اگر M یك مدول متناهیا تولید شده باشد، آن گاه هر زیر مدول حقیقی از M مشمول یك زیر مدول اول است. ادامه خواندن مقاله در مورد راديكال زير مدول ها

نوشته مقاله در مورد راديكال زير مدول ها اولین بار در دانلود رایگان پدیدار شد.