مقاله آمار و احتمال

 nx دارای 17 صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است فایل ورد nx  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد. این پروژه توسط مرکز nx2 آماده و تنظیم شده است توجه : در صورت  مشاهده  بهم ريختگي احتمالي در متون زير ،دليل ان کپي کردن اين مطالب از داخل فایل ورد مي باشد و در فايل اصلي nx،به هيچ وجه بهم ريختگي وجود ندارد بخشی از متن nx : آمار و احتمالتوزیع دو جمله ای : اگر آزمایشی دارای ویژگی های زیر باشد ، آزمایش تصادفی دوجمله ای است . 1- آزمایش ها مستقل از یکدیگر تکرار شوند 2- آزمایش ها به تعداد دفعات معین مثلا n بار تکرار شوند 3- آزمایش تصادفی به دو نتیجه ممکن موفقیت و شکست منجرگردد . 4- احتمال موفقیت ها در همه آزمایش ها ثابت و برابر p باشد . مثال 1 : کدام یک از موارد زیر می تواند به عنوان آزمایش دوجمله ای تلقی شود ؟ الف- نمونه گیری تصادفی از 500 زندانی برای تعیین اینکه آیا آنها قبلا در زندان بوده اند یا خیر . ب- نمونه گیری تصادفی از 500 زندانی برای تعیین طول مدت محکومیت آنها . حل : مورد « الف » شرایط لازم برای یک آزمایش دوجمله ای را دارد . 1- آزمایش ها مستقل از یکدیگرند 2- تعداد آزمایش ها ( 500 ) ثابت است 3- هرآزمایش دو نتیجه دارد : یا در زندان بوده یا نبوده 4- احتمال موفقیت ها ( مثلا زندانی نبودن ) در همه آزمایش ها ثابت است . مورد « ب » شرایط لازم برای یک آزمایش دوجمله ای را ندارد زیرا طول مدت محکومیت زندانیان متفاوت بوده و بنابراین هرآزمایش بیش از دو نتیجه دارد . متغیر تصادفی و تابع توزیع احتمال متغیر تصادفی دو جمله ای عبارت است از تعداد موفقیت ها دریک آزمایش تصادفی دو جمله ای تابع توزیع احتمال دو جمله ای که در آن p احتمال موفقیت و x تعداد موفقیت ها در n آزمایش باشد به صورت زیر تعریف می شود : نکته 1 : توزیع احتمال دوجمله ای دارای دو پارامتر p , n می باشد . مثال 2 : یک آزمون چندگزینه ای دارای 30 سئوال ، و هرسئوال دارای 5 جواب ممکن است که یکی از آنها درست می باشد اگر به تمام سئوالات پاسخ داده شود ، چقدر احتمال داردکه دقیقا 4 تای آنها پاسخ درست باشد ؟ حل : امید ریاضی ، واریانس و تابع مولدگشتاور 1- E ( X ) = np 2- Var ( X ) = npq 3- مثال 3 : احتمال اینکه مشتری ای که وارد فروشگاهی می شود چیزی بخرد 6 /0 است . اگر 10 مشتری وارد فروشگاهی شده باشند امید ریاضی و واریانس تعداد مشتریان خریدکرده چقدر است ؟ حل : این موقعیت شرایط لازم برای یک آزمایش دوجمله ای را داردکه درآن 6 /0 = p ، 4/0= q و 10 = n ، پس : 24 /0 = 4 /0 * 6 /0 * 10 = npq = Var ( x) ، 6 = 6 /0 * 10 = np = E ( X) مثال 4 : تابع مولدگشتاورهابرای کمیت تصادفی X به صورت10 ( t e 8 /0 +2 /0 ) =M x ( t ) به دست آمده است ضریب تغییرات متغیرتصادفی X را بیابید . حل : 10 = n ، 8 /0 = p ، 2 /0 = q 10 ( t e 8 /0 + 2 /0 ) = M X ( t ) 27 /1= 6 /1 = 2 /0 * 8 /0 * 10 = npq = Var (x) ، 8 = 8 /0 * 10 = n .p = = E ( X ) توزیع پواسن : اگر آزمایشی دارای ویژگی های زیرباشد ، آزمایش تصادفی پواسن است . 1- احتمال رخداد بیش ازیک حادثه دریک فاصله زمانی یا مکانی بسیارکوچک تقریبا صفر باشد . 2- احتمال رخداد یک حادثه درهرفاصله زمانی یامکانی متناسب با طول آن فاصله باشد.3- احتمال رخدادها درفواصل زمانی یا مکانی مستقل ازهم باشد . متغیر تصادفی و تابع توزیع احتمال :متغیر تصادفی X که بیانگر رخدادهای تصادفی پواسن دریک فاصله زمانی یامکانی معین است را متغیر تصادفی پواسن گویند اگر متوسط تعداد موفقیت درهرفاصله زمانی یامکانی برابر باشد ، تابع احتمال پواسن به صورت زیرتعریف می شود : . . . و 2 و 1 و 0 = x نکته 2 : توزیع احتمال پواسن دارای یک پارامتر می باشد . مثال 1 : به طورمتوسط درهردقیقه 2 اتومبیل برای تحویل بنزین وارد پمپ بنزین می شوند احتمال اینکه 2 اتومبیل در 5 دقیقه وارد پمپ بنزین شوند ، چقدر است ؟ حل : اتومبیل دقیقه 2 1 10 = 5 نکته 3 : اگر در توزیع دوجمله ای n بزرگ و p خیلی کوچک باشد می توان از توزیع پواسن استفاده کرد به طورکلی وقتی 20 n و 05 /0 p باشد ، توزیع پواسن تقریب خوبی برای توزیع دوجمله ای و وقتی 100 n و 10 np باشد ، تقریب بسیارعالی برای آن محسوب می شود یعنی : Np = ، مثال 2 : احتمال اینکه محصولی ضمن تولید معیوب شده 2 % است . 200 واحد محصول را به طورتصادفی انتخاب می کنیم ، احتمال اینکه حداقل یک محصول معیوب باشد چقدر است ؟ حل : 5 > 4 = = np 02 /0 = p ، 200 = n982 / 0 = – 1 = ( 0 = x ) f x -1 = ( 1 x ) f x   امید ریاضی ، واریانس و تابع مولدگشتاور 1- = E ( X ) 2- = Var ( X) 3- = ( t ) M x مثال 3 : براساس تجربه مشخص شده است که یک تلفنچی 4 % از تلفن ها را اشتباه وصل می کند . اگر امروز 200 تلفن وصل کرده باشد ، واریانس تلفن هایی که اشتباه وصل شده است را پیدا کنید . حل : 8 = 04 /0 * 200 = p ، n = 8 = = Var ( X ) توزیع نرمال : مهمترین توزیع احتمال پیوسته در سرتاسر علم آمار ، توزیع نرمال است . نمودار آن به نام منحنی نرمال نامیده شده و هم شکل زنگوله است . متغیرتصادفی X که دارای توزیع زنگوله ای شکل باشد متغیرتصادفی نرمال نامیده می شود اگر X یک متغیرتصادفی نرمال با میانگین و واریانس باشد تابع چگالی آن به صورت زیر خواهد بود : که درآن . . . 14159 / 3 = و . . . 71828 / 2 = e است . وقتی که مقادیر و مشخص شده باشند منحنی نرمال دقیقا مشخص شده است . معمولا وقتی متغیرتصادفی X دارای توزیع نرمال با میانگین و واریانس است آن را به صورت زیر نمایش می دهیم : نکته 4 : توزیع احتمال نرمال دارای دو پارامتر و می باشد . مثال 1 : تابع فراوانی توزیع X به صورت است . میانگین و انحراف معیار این توزیع را به دست آورده و مقدار A را حساب کنید . حل : از مقایسه تابع با تابع توزیع نرمال نتیجه می شودکه : 4 = و 1= و از اینجا 707 / 0 = از طرفی : امید ریاضی ، واریانس و تابع مولدگشتاور : 1- E ( X ) = 2- Var ( X ) = 2 3- مثال 2 : تابع مولدگشتاورها برای کمیت تصادفی X به صورت بیان شده است . ضریب تغییرات کمیت تصادفی X ، چقدر است ؟ حل : ازمقایسه M x ( t ) با تابع مولدگشتاور نرمال نتیجه می شودکه 50 = و 16= یا 4 = و ضریب تغییرات مساوی خواهد شد با : خواص توزیع نرمال : 1- توزیع نرمال نسبت به خط = x دارای تقارن است . 2- در توزیع نرمال پارامترهای مرکزی یعنی میانگین ، میانه و مد با هم برابرند ، پس : =me= mo 3- توزیع نرمال دارای یک نقطه ماکزیمم به ازای = x می باشد که مقدار ماکزیمم برابر با است . 4- توزیع نرمال دارای دو نقطه عطف به ازای ± = x می باشدکه دارای عرضی برابر با است . 5- در دو طرف میانگین ، منحنی به مجانب خود یعنی محور x ها نزدیک می گردد . 6- با تغییر پارامتر شکل توزیع تغییرنمی کند ولی با تغییر شکل توزیع نیز تغییرمی کند. 7- مساحت زیر منحنی نرمال و محور x ها برابر 1 است . 8- مساحت زیر منحنی نرمال به وسیله خط = x به دو قسمت مساوی که هریک مساوی است ، تقسیم می شود . یعنی همواره بیشتر از 50 درصد از اندازه ها بیشتر ازمیانگین و 50 درصد از اندازه هاکمتر ازمیانگین است . مثال 3 : فرض کنید توزیع عمر یخچال های تولیدی یک کارخانه با میانگین 30 و واریانس 15 نرمال باشد . احتمال آنکه طول عمریکی از یخچال ها که به طورتصادفی انتخاب می شود کمتراز میانگین چقدراست ؟ حل : چون محور تقارن منحنی توزیع نرمال = x می باشد و مساحت سمت چپ آن است بنابراین . توزیع نرمال استاندارد : اگریک متغیرتصادفی مانند X دارای میانگین و واریانس باشد آنگاه اگرمیانگین این متغیر تصادفی را از آن کسر و برانحراف معیار آن تقسیم کنیم ، داریم : به متغیر تصادفی حاصل که معمولا آن را با حرف Z نشان می دهیم « متغیراستانداردشده » و به این عمل استاندارد کردن می گویند . میانگین متغیر استاندارد شده صفر و واریانس آن یک می باشد و به صورت نشان می دهند . ثابت می شودکه اگر توزیع X نرمال باشد توزیع Z هم نرمال خواهد بود و لذا تابع چگالی آن به صورت : است ، به چنین توزیعی ، توزیع نرمال استانداردگویند . مثال 4 : اگر اندازه دو نفر از جامعه نرمالی 10 و 16 و اندازه این دو نفر برحسب متغیر استاندارد Z صفر و 2 باشد ، میانگین و انحراف معیارکدامند ؟ حل : نکته 5 : تابع مولدگشتاور توزیع نرمال استاندارد به صورت زیر است : مثال 5 : تابع مولدگشتاورها برای متغیر تصادفی X به صورت بیان شده است. امید ریاضی و واریانس کمیت x 3 = y را پیدا کنید . حل : بنابراین کمیت Y برطبق قانون نرمال با امید ریاضی 0 و واریانس 9 توزیع خواهد شد . سطح زیر منحنی نرمال : برای محاسبه احتمال اینکه متغیر تصادفی X کمیتی بین x1 تا x2 را اختیارکند ، همان طور که دربحث توزیع های پیوسته گفته شد ، عبارت است از : و در خصوص توزیع نرمال داریم : محاسبه انتگرال فوق ، عملی مشکل و وقت گیر است این مشکل به وسیله استانداردکردن داده های آماری حل می شود . ادامه خواندن مقاله آمار و احتمال

نوشته مقاله آمار و احتمال اولین بار در دانلود رایگان پدیدار شد.