مقاله رياضي کاربردي

 nx دارای 297 صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است فایل ورد nx  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد. این پروژه توسط مرکز nx2 آماده و تنظیم شده است توجه : در صورت  مشاهده  بهم ريختگي احتمالي در متون زير ،دليل ان کپي کردن اين مطالب از داخل فایل ورد مي باشد و در فايل اصلي nx،به هيچ وجه بهم ريختگي وجود ندارد بخشی از متن nx : ریاضی کاربردی ـ فرض كنید تحقیقی در مورد گروهی از مریض‌ها انجام می‌شود، به طوری كه احتیاج به یك رژیم غذایی دارند كه بایستی حداقل 2000 كالری و حداقل 600 واحد ویتامین D مورد لزوم از دو خوراك I و II كسب شود. هر واحد از خوراك I دارای 40 كالری و 8 واحد ویتامین D است و هر واحد از خوراك II دارای 20 كالری و 12 واحد ویتامین D است در ضمن هزینه هر واحد خوراك I برابر 4 تومان و هزینه هر واحد خوراك II برابر 5 تومان می‌باشد. مسئله را به صورت یك برنامه‌ریزی خطی مدل‌بندی نمایید به طوری كه ضمن كسب حداقل كالری و ویتامین D مورد لزوم مقدار هزینه مینیمم شود.حل. تعریف می‌كنیم: تعداد واحد خوراك نوع I كه فرد خریداری می‌كند برای اطلاعات مسئله را می‌توانیم به صورت یكی از جدولهای زیر خلاصه نماییم: حداقل مورد نیاز خوراك I خوراك II 2000 20 4 كالری600 12 8 ویتامین D 5 4 هزینه هزینه هر واحد ویتامین D كالری 4 8 4 X1تعداد واحد خوراك I5 12 20 X2 تعداد واحد خوراك II 600 2000 حداقل مورد نیاز با استفاده از هر كدام از دو جدول فوق، مدل مسئله به صورت زیر قابل بیان است: ـ در یك كارگاه بشقاب‌سازی بشقاب در دو اندازه كوچك و بزرگ ساخته می‌شود برای ساخت یك بشقاب كوچك، یك دسیمتر مربع ورق استیل 5/1 نفر ساعت كار مورد نیاز است. در صورتی كه برای ساخت یك بشقاب بزرگ دو دسیمتر مربع ورق استیل و 3 نفر كار مورد نیاز است. فروش هر بشقاب كوچك 30 تومان و فروش هر بشقاب بزرگ 50 تومان سود دارد. اگر در هفته 400 دسیمتر مربع ورق استیل و 500 نفر ساعت نیروی انسانی در اختیار داشته باشیم و هر تعداد بشقاب از هر نوع كه تولید شود به فروش برسد یك مدل ریاضی برای مسئله بنویسید كه تعیین كند در هر هفته از هر نوع بشقاب چه تعداد تولید می‌شود تا ضمن رعایت محدودیتهای منابع، سود حاصل از تولید ماكزیمم شود.حل. تعریف می‌كنیم: تعداد تولید هفتگی بشقاب نوع كوچك: x1تعداد تولید هفتگی بشقاب نوع بزرگ: x2مقدار در دسترس بزرگ كوچك 400 2 1 ورق استیل500 3 5/1 نیروی انسانی 50 30 سود ـ در كارخانه‌ای دو نوع كالا تولید می‌شود. برای تولید هر واحد از نو ع اول، 3 ساعت زمان و برای تولید هر واحد از نوع دوم، 2 ساعت زمان لازم است. كارخانه در 24 ساعت شبانه‌روز كار می‌كند و از طرفی ماده اولیه برای تولید حداكثر 10 واحد كالا از هر نوع داریم. هرگاه سود كالای نوع اول 400 تومان و سود كالای نوع دوم 300 تومان برای هر واحد باشد. از هر كالا چه تعدادی در شبانه روز تولید كنیم تا سود حاصل ماكزیمم شود. یك مدل ریاضی برای بیان مسئله بنویسید.حل. تعریف می‌كنیم:تعداد كالای نوع i برای ـ یك كارخانه تولیدی 5 ماشین رنگ‌كاری و یك ماشین پرس دارد. این ماشینها برای ساخت دو نوع محصول I و II به كار گرفته می‌شوند. با تركیب یك واحد از I و یك واحد از II، یك محصول جدید به نام III‌ به دست می‌آید. میزان به‌كارگیری هر كدام از این ماشینها برای محصولات I و II در جدول زیر داده شده است. مدت زمان مورد نیاز (دقیقه)برای هر واحدرنگ‌كاری پرس محصول2015 35 I II چگونگی تقسیم كار روی ماشین‌ها را تعیین كنید به طوریكه در مدت 8 ساعت كار، تعداد محصولات نهایی III ماكزیمم گردد. یك مدل ریاضی برای بیان مسئله بنویسید.حل. تعریف می‌كنیم:تعداد محصولات نوع I: x1 تعداد محصولات نوع II: x2 چون هر واحد از III از تركیب یك واحد از I و یك واحد از II ساخته می‌شود بنابراین III به اندازه می‌تواند تولید شود كه بایستی این مقدار را ماكزیمم نماییم. ـ چهار فرآورده به طور متوالی روی دو ماشین پردازش می‌شوند. مدت زمان برای پردازش هر واحد از فرآورده‌ها روی دو ماشین (بر حسب ساعت) در جدول زیر داده شده است: زمان برای هر واحد (ساعت)ماشین فرآورده 1 فرآورده 2 فرآورده 3 فراورده 41 2 3 4 22 3 2 1 2 هزینه كل تولید یك واحد از هر فرآورده مستقیماً با زمان مورد استفاده از ماشین متناسب می‌باشد. فرض كنید هزینه هر ساعت استفاده از ماشین‌های 1 و 2 به ترتیب برابر 10 و 15 تومان باشد. كل زمان در نظر گرفته شده برای تمام فرآورده‌ها روی ماشین‌های 1 و 2 برابر 500 و 300 ساعت است. اگر بهای فروش هر واحد از فرآورده‌های 1 و 2 و 3 و 4 به ترتیب برابر 65، 70، 55 و 45 تومان باشد، برای بیشینه ساختن سود خالص كل، یك مدل ریاضی برای بیان مسئله بنویسید.حل. تعریف می‌كنیم: میزان تولید فرآورده i‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ام برای ـ تولید كننده‌ای سه مدل (I، II و III) از فرآورده معینی را تولید می‌كند. او از دو نوع ماده خام (A و B ) كه از آنها به ترتیب 2000 و 3000 واحد در دسترس دارد استفاده می‌نماید. مواد خام مورد نیاز برای هر واحد از سه مدل در زیر داده شده‌اند. مقدار لازم برای هر واحد از مدل داده شدهماده خام I II IIIA 2 3 5B 4 2 7 زمان كار مورد نیاز برای هر واحد از مدل I دو برابر زمان كار مدل II و سه برابر زمان كار مدل III می‌باشد. تمام نیروی كار كارخانه می‌تواند معادل 700 واحد از مدل I تولید كند برآوردی از بازار نشان می‌دهد كه كمینه تقاضا برای سه مدل به ترتیب 200 و 200 و 150 واحد می‌باشد با وجود این نسبتهای تعداد واحد تولید شده باید به نسبت 5: 2: 3 باشند. فرض كنید كه سود هر واحد از مدلها به ترتیب برابر با 30 و 20 و 50 تومان باشد. یك مدل ریاضی برای بیان مسئله بنویسید تا بتوانید تعداد تولید واحدهایی از هر فرآورده را كه سود كل را بهینه می‌سازد به دست آورید.حل. تعریف می‌كنیم: میزان تولید محصول مدل نوع I برای توجه داشته باشید كه مجموع نسبتهای داده شده برابر 10 است كه متغیرهای اول تا سوم به ترتیب نسبتهای 3، 2 و 5 از آن را به خود نسبت می‌دهند. لذا، مثلاً برای محصول نوع I داریم: به همین نحو برای محصولهای دوم و سوم یك رابطه مشابه وجود دارد. ـ فرض كنید مقدار خوراك مورد نیاز در یك مرغداری 100 كیلوگرم در روز باشد. غذای ویژه باید شامل موارد زیر باشد:1) كلسیم، حداقل 8/0 درصد و حداكثر 2/1 درصد2) پروتئین، حداقل 22 درصد3) الیاف خام، حداكثر 5 درصدفرض كنید كه اجزای تركیبی مواد غذایی كه مورد استفاده قرار می‌گیرند، عبارتند از سنگ آهك، ذرت و آرد سویا. محتوای غذایی این اجزای تركیبی در جدول زیر داده شده‌اند.جزء تركیبی كلسیم پروتئین الیاف خام هزینه هر كیلوسنگ آهك 38/0 0 0 4/16ذرت 001/0 09/0 02/0 3/86آرد سویا 001/0 5/0 08/0 125 یك مدل ریاضی برای بیان مسئله بنویسید به طوری كه مشخص كند از هر جزء تركیبی چه مقدار در بسته غذایی استفاده گردد تا ماده غذایی مورد نظر با حداقل هزینه تهیه شود، ضمن اینكه احتیاجات غذایی مورد نظر نیز برآورده گردد.حل. تعریف می‌كنیم:مقدار سنگ آهك مورد استفاده در بسته صد كیلویی: x1 مقدار ذرت مورد استفاده در بسته صد كیلویی: x2مقدار آرد سویا مورد استفاده در بسته صد كیلویی: x3بنابراین مدل برنامه‌ریزی خطی به صورت زیر خواهد بود: ـ برای كنترل كیفیت حداقل 2500 واحد از یك كالا در مدت 7 ساعت قرار است از تعدادی بازرس از دو گروه A و B استفاده شود. یك بازرس گروه A در هر ساعت 25 عدد كالا را با دقت 97 درصد كنترل می‌كند و هزینه بازرسی در هر ساعت 400 تومان است. ی ر ساعت 350 تومان است. برای هر واحد كالا كه ناقص باشد و از زیر دست بازرسان خارج گردد كارخانه باید 200 تومان جریمه بپردازد. با فرض آنكه از بازرسیهای گروه A حداكثر 10 نفر و از بازرسهای گروه B حداكثر 11 نفر در دسترس هستند، معین كنید كه از هر كدام از بازرسها چه تعدادی به خدمت گرفته شوند تا ضمن مینیمم كردن هزینه پرداختی، كارخانه به هدف مطلوب برسد. یك مدل ریاضی برای بیان مسئله بنویسید.حل. تعریف می كنیم:تعداد بازرسانی كه از گروه A‌ به خدمت گرفته می‌شوند: x1تعداد بازرسانی كه از گروه B به خدمت گرفته می‌شوند: x2هزینه در این مسئله عبارت است از: هزینه جریمه + هزینه ساعتی هر بازرسیهزینه كارخانه برای یك ساعت از بازرس گروه A عبارت است از: به طور مشابه هزینه كارخانه برای یك ساعت از بازرس گروه B‌ عبارت است از: بنابراین مدل مسئله عبارت است از: ـ شركتی سه محصول شیمیایی تولید می‌كند. برای این كه محصولی به تولید برسد، می‌بایست از چهار مرحله تولیدی عبور كند. جدول زیر زمان مورد نیاز هر محصول جهت مرحله‌های مختلف و ظرفیت زمانی هر مرحله را بر حسب دقیق در روز نشان می‌دهد. چنانچه حداقل تقاضا برای هر محصول به ترتیب 50، 80 و 70 واحد بوده و سود خالص هر واحد محصول به ترتیب 3، 2، 5 باشد، به منظور حداكثر كردن سود كل تولیدات این شركت، مسئله را به شكل یك مدل برنامه‌ریزی خطی فرموله كنید تا معین كند از هر محصول چه تعدادی تولید شود.ظرفیت زمانی محصول 3 محصول 2 محصول 1 پروسه430 1 2 1 1460 2 – 3 2420 – 4 1 3440 4 3 5 4 حل.ابتدا می‌بایست متغیرهای تصمیم را تعریف نماییم. در اینجا می‌خواهیم بدانیم از هر محصول چقدر باید تولید كنیم. لذا متغیرهای تصمیم به شكل زیر تعریف می‌گردند:X1= تعداد تولید محصول 1 X2= تعداد تولید محصول 2X3= تعداد تولید محصول 3و یا به طور خلاصه می‌نویسیم:Xj= میزان (مقدار) تولید از محصول j برای حال با این تعریف تابع هدف ما چنین خواهد بود: كه دراینجا z معرف سود كل شركت می‌باشد.برای ظرفیت زمانی چهار پروسه تولیدی، چهار محدودیت زیر را خواهیم داشت: برای هر محصول، یك محدودیت حداقل تقاضا وجود دارد لذا خواهیم داشت: نهایتاً چون مقدار منفی برای متغیرهای ما بی‌مفهوم است داریم: (البته باید توجه داشت كه در این مسئله، محدودیتهای حداقل تقاضا، ضرورت نوشتن وضعیت متغیرها یعنی را رفع می‌نماید.)لازم به توضیح است كه چون xj معرف تعداد تولید محصولی خاص است لذا شرط صحیح بودن برای متغیرهای تصمیم نیز بایستی در نظر گرفته شود. اما معمولاً به جز در مسائلی كه شرط صحیح بودن الزامی است از نوشتن این شرط صرف‌نظر می‌شود و در عمل اگر پس از حل مسئله و تعیین جوابی كه بهترین مقدار را به تابع هدف می‌دهد مقدار متغیری مثلاً به صورت x=3.5 محصول در یك دوره زمانی است، آن را به صورت x=35 محصول در ده دوره زمانی تعبیر می‌نماییم.نكته: سعی كنید در مسائلی كه فرموله می‌كنید نكات زیر رعایت گردند. 1 بین تابع هدف و محدودیتهای از یكی از كلمات «به طوری كه»، «تحت شرایط»، «با قیود»، «مشروط به این كه»، «Subject to» یا به طور خلاصه «S. t.» استفاده نمایید.2 متغیرها را به شكل مرتب در تابع هدف و محدودیتها، زیر هم بنویسید.3 در محدودیت‌ها، متغیرها در سمت چپ نامساوی و مقادیر ثابت در سمت راست نامساوی قرار بگیرند.4 هر محدودیت صرفاً دارای یك علامت مساوی یا نامساوی ( و ) باشد. ـ چهار محصول به طور متوالی به وسیله دو ماشین ساخته می‌شوند. زمان تولید برای ساخت هر محصول در هر ماشین بر حسب ساعت در جدول زیر مشخص شده است:زمان برای تولید هر واحد (ساعت) ماشینمحصول 4 محصول 3 محصول 2 محصول 1 2 4 3 2 12 1 2 3 2 كل هزینه تولید هر واحد محصول بر اساس زمانی است كه ماشین برای تولید آن مصرف می‌كند. فرض كنید كه هزینه هر ساعت كار ماشین 1 و 2 به ترتیب 10 و 15 واحد پول قراردادی است. كل ساعاتی كه برای تولید تمام محصولات روی ماشینهای 1 و 2 در نظر گرفته شده است 500 و 380 ساعت می‌باشد. اگر قیمت فروش هر واحد محصول 1 و 2 و 3 و 4 به ترتیب 65 و 70 و 55 و 45 واحد پول قراردادی باشد، مسئله را به صورت یك مدل برنامه‌ریزی خطی كه كل سود را ماكزیمم سازد فرموله كنید.حل. قبل از هر عملی اطلاعات داده شده برای مسئله را در جدول زیر خلاصه می‌كنیم:ظرفیت موجود محصول ماشین هزینه هرساعت كار ماشین 4 3 2 1 500 2 4 3 2 1 10380 2 1 2 3 2 15 45 55 70 65 قیمت فروش هر واحد محصول 5- 0 10 0 سود خالص هر واحد محصول در این جدول برای محاسبه سود خالص هر واحد محصول، هزینه كل تولید را از قیمت فروش آن كسر كرده‌ایم به عنوان نمونه هزینه تولید محصول 1 با 2 ساعت كار ماشین 1، 20(=10*2) و با 3 ساعت كار ماشین 2، 45 (=15*3) و به عبارتی 65 (=45+20) واحد پول برابر می‌باشد و چون قیمت فروش آن نیز 65 واحد است لذا سود خالص آن صفر خواهد بود.متغیر تصمیم این مسئله چنین خواهد بود: xjمقدار تولید از محصول j برای بنابراین داریم:تابع هدف (حداكثر كردن سود خالص) محدودیت ظرفیت موجود ماشین 1 محدودیت ظرفیت موجود ماشین 2 محدودیت غیرمنفی بودن تولیدات ـ یك كارخانه كلاه‌سازی دو نوع كلاه تولید می‌كند. ساخت هر واحد كلاه نوع 1، به اندازه دو برابر كلاه نوع 2، نیروی انسانی لازم دارد. اگر تمام كلاه‌ها فقط از نوع 2 باشند، كارخانه می‌تواند جمعاً 500 كلاه در روز تولید كند. حداكثر تقاضای روزانه برای كلاه‌های نوع 1 و 2 به ترتیب 150 و 250 كلاه است. فرض كنید كه سود هر كلاه نوع 1 و 2 به ترتیب 8 و 5 واحد پول قراردادی است. به منظور ماكزیمم كردن سود معلوم كنید كه از هر یك از كلاه‌های نوع 1 و 2 چند عدد باید تولید گردد. یك مدل ریاضی برای بیان مسئله بنویسید. حل. ابتدا خلاصه اطلاعات مسئله را در جدول زیر می‌آوریم. كلاه نوع 1 كلاه نوع 2حداكثر تقاضا 150 250 ظرفیت موجودنیروی انسانی m2 m m500سود خالص هر كلاه 8 5 در اینجا اگر نیروی انسانی لازم برای كلاه نوع 2 را m فرض كنیم، این میزان برای كلاه نوع 1 برابر m2 بوده و ظرفیت موجود كارخانه در این راستا، m500 در روز برآورد می‌گردد.متغیرهای تصمیم این مسئله چنین تعریف می‌گردند:تعداد كلاه تولید شده از نوع j : با هدف حداكثر كردن سود داریم: برای محدودیت نیروی انسانی پس از حذف پارامتر m از طرفین نامعادله خواهیم داشت: محدودیتهای حداكثر تقاضا چنین می‌باشند: چون مقدار منفی برای تولیدات مفهومی ندارد خواهیم داشت: ـ یك كارخانه می‌تواند سه مدل 1 و 2 و 3 از محصولی را تولید كند. این كارخانه دو نوع ماده خام A و B مصرف می‌كند كه از آنها به ترتیب 2000 و 3000 واحد در دسترس است. مواد خام مورد نیاز برای هر واحد از مدلهای 1 و 2 و 3 در جدول ذیل نشان داده شده است:مواد خام مورد نیاز مدلهای مواد خام3 2 1 5 3 2 A7 2 4 B نیروی انسانی لازم برای هر واحد از مدل 1 به اندازه دو برابر مدل 2 و سه برابر مدل 3 است. كل نیروی انسانی كه كارخانه می‌تواند در اختیار داشته باشد معادل تولید 700 واحد از مدل 1 است. قسمت بازاریابی اعلام كرده است كه حداقل تقاضا برای سه مدل به ترتیب 200 و 200 و 150 واحد است. لیكن نسبت تعداد محصولهای تولید شده باید به صورت 3: 2: 5 باشد. فرض كنید كه سود هر واحد از مدلهای 1 و 2 و 3 به ترتیب 30 و 20 و 50 واحد پول قراردادی است. به منظور تعیین تعدادی كه از هر مدل باید تولید گردد تا سود كل ماكزیمم نماید مسئله را به صورت یك مدل برنامه‌ریزی خطی فرموله كنید.حل. خلاصه اطلاعات مسئله و متغیر تصمیم‌گیری به شرح ذیل خواهد بود: ظرفیت موجود محصولات تولیدی مدل 3 2 1 5 2 3 نسبت تولیدات 150 200 200 حداقل تقاضا2000 5 3 2 ماده خام A3000 7 2 4 ماده خام B m700 3/m 2/m m نیروی انسانی 50 20 30 سود هر واحد محصول برای j=1, 2, 3 متغیر xj را به صورت تعداد تولید مدل نوع j تعریف می‌كنیم، بنابراین مشابه مسئله قبل به فرموله كردن مسئله می‌پردازیم: محدودیت موجودی ماده خام A محدودیت موجودی ماده خام B محدودیت موجودی نیروی انسانی محدودیت حداقل تقاضای محصول 1 محدودیت حداقل تقاضای محصول 2 محدودیت حداقل تقاضای محصول 3 محدودیت نسبت تولید محصولات محدودیتهای غیرمنفی بودن متغیرهای تصمیم در محدودیتهای حداقل تقاضا لحاظ شده است. ـ تاجری این اختیار را دارد كه پولش را در دو طرح سرمایه‌گذاری كند. طرح A ضمانت می‌كند كه بعد از سرمایه‌گذاری هر واحد پول قراردادی به اندازه 70 درصد واحد پول قراردادی در یك سال عایدی به بار آورد، در صورتی كه طرح B عایدی 2 واحد پول قراردادی را برای هر واحد تضمین می‌نماید. ناگفته نماند در طرح B سرمایه‌گذاری پس از دو سال عایدی خواهد داشت، به منظور ماكزیمم كردن درآمد در پایان سال سوم مبلغ 100000 واحد پول قراردادی را چگونه باید سرمایه‌گذاری نمود؟ مسئله را به صورت یك مدل برنامه‌ریزی خطی فرموله كنید.حل. ابتدا به تشریح شماتیكی مسئله می‌پردازیم. سرمایه‌گذاری رویطرح A طرح Bپس از یك سال 70 درصد سود می‌دهد به عبارت دیگر اصل سرمایه پس از یك سال، 7/1 برابر می‌شود. پس از دو سال 200 درصد سود می‌دهد. به عبارت دیگر اصل سرمایه‌گذاری انجام شده پس از دو سال، 3 برابر می‌گردد. ما به هر میزان كه بخواهیم، با توجه به سرمایه موجود در ابتدای هر سال، بر روی دو طرح A و B سرمایه‌گذاری می‌كنیم. سرمایه موجود در ابتدای سال اول 100000 واحد پول است كه تماماً بر روی دو طرح سرمایه‌گذاری می‌گردد اما سرمایه موجود در ابتدای سال دوم، اصل سرمایه و سود حاصل از سرمایه‌گذاری انجام شده بر روی طرح A در ابتدای سال اول خواهد بود. «توجه داشته باشید كه سرمایه‌گذاری انجام شده بر روی طرح B، هنوز درگیر بوده و در پایان سال اول، بازگشتی ندارد.» در ابتدای سال سوم سرمایه موجود، مجموع بازگشتی حاصل از سرمایه‌گذاری انجام شده بر روی طرح A در ابتدای سال دوم و بازگشتی حاصل از سرمایه‌گذاری انجام شده بر روی طرح B در ابتدای سال اول می‌باشد و ; شكل ص 24 اگر Xij را میزان (مقدار) سرمایه‌گذاری انجام شده در ابتدای سال i، بر روی پروژه j (i=1, 2, 3, ;) j=A,B بنامیم موجودی حاصله پس از سه دوره یك ساله (پایان سال 3) با توجه به توضیحات داده شده و شكل شماتیكی آن، به خواهد رسید كه هدف ما، بیشینه كردن آن است لذا مدل برنامه‌ریزی خطی این مسئله به شكل زیر درمی‌آید. توجه داشته باشید كه در ابتدای سال سوم سرمایه‌گذاری بر روی B به علت آن كه دو ساله بازگشت سرمایه داشته و از دوره برنامه‌ریزی ما خارج می‌گردد، منطقی نمی‌باشد و لذا می‌توان متغیر X3B را از ابتدا صفر فرض كرده و از مدل فرموله شده مسئله كنار گذاشت. (محدودیت سرمایه‌گذاری در ابتدای سال اول) (محدودیت سرمایه‌گذاری در ابتدای سال دوم) (محدودیت سرمایه‌گذاری در ابتدای سال سوم) لازم به ذكر است كه در هر سال، آن چه را كه داریم بر روی دو طرح (به علت آن كه سودده هستند) سرمایه‌گذاری می‌كنیم به عنوان مثال در ابتدای سال دوم موجودی X1A 7/1 است كه با سرمایه‌گذاری روی طرحهای A و B یعنی X2A+X2B برابری می‌كند.از اینكه X3B در محدودیت‌ها بیان شده، بهتر است قید X3B=0 به قیود اضافه گردد. برای یك كارگاه تولیدی شبانه‌روزی در ساعات مختلف روز تعدادی تكنسین به شرح زیر مورد نیاز است:حداقل تكنسین مورد نظر ساعات شبانه‌روز4 6 ـ 28 10 ـ 610 14 ـ 107 18 ـ 1412 22 ـ 184 2 ـ 22 هر تكنسین در روز 8 ساعت متوالی كار می‌كند. هدف پیدا كردن كمترین تعداد تكنیسین است كه نیاز فوق را برآورده سازد. مسئله را به صورت یك مدل برنامه‌ریزی خطی فرموله كنید. فرض كنید هر تكنسین در شروع یكی از دوره‌ها شروع به كار نموده و هشت ساعت متوالی كار می‌كند. (لازم به ذكر است كه این مسئله به شكلهای مختلفی قابل بیان است و نمونه‌های مشابهی از آن در مسائل دیگر آمده است)حل. طرح شماتیك مسئله به صورت ذیل است:در شكل رسم شده دقت داشته باشید كه آخرین دوره زمانی روی محور طولها به صورت دو ساعت می‌باشد و نه چهار ساعت. شكل ص 26 از آنجائی كه هر تكنسین در روز 8 ساعت كار می‌كند، بنابراین در دو شیفت متوالی برابر شكل فوق، حضور خواهد داشت لذا كافی است در هر شیفت، جمع افرادی را كه در آن شیفت و در شیفت قبل شروع به كار كرده‌اند با نیاز آن شیفت مقایسه نمود.مدل این مسئله به شكل ساده زیر درمی‌آید:متغیرهای تصمیم‌گیری را به صورت زیر تعریف می‌كنیم:X1= تعداد تكنسینی كه از ساعت 2 شروع به كار می كنند.X2= تعداد تكنسینی كه از ساعت 6 شروع به كار می‌كنند.X3= تعداد تكنسینی كه از ساعت 10 شروع به كار می‌كنند.X4= تعداد تكنسینی كه از ساعت 14 شروع به كار می‌كنند.X5= تعداد تكنسینی كه از ساعت 18 شروع به كار می‌كنند.X6= تعداد تكنسینی كه از ساعت 22 شروع به كار می‌كنند. (عدد صحیح) ـ یك شركت راه‌سازی اقدام به ترتیب راننده جهت ماشینهای غلتك می‌نماید. هر راننده تربیت شده جهت تربیت 10 نفر كارآموز جدید به كار گرفته می‌شود. برنامه‌ كارآموزی یك ماه به طول می‌انجامد. این شركت از تجارب گذشته خود دریافته است كه از 10 نفر كارآموز كه استخدام می‌شوند فقط 7 نفر برنامه را با موفقیت به پایان می‌رسانند. (كارآموزان ناموفق در پایان اولین ماه استخدامشان اخراج خواهند شد.) این شركت راننده‌های تربیت شده را علاوه بر مربی شدن برای كارآموزان جدید، برای رانندگی این ماشینها نیز نیاز دارد. نیاز شركت در ماههای آینده برای رانندگی به صورت زیر است: خرداد اردیبهشت فروردین ماه200 150 100 راننده مورد نیاز علاوه بر این، این شركت احتیاج به 250 راننده تربیت شده در ماه تیر دارد. این شركت دارای 30 راننده در اول فروردین است. حقوق ماهیانه افراد به ترتیب زیر است: هر كارآموز 4000 تومان، هر راننده تربیت شده (راننده یا مربی) 10000 تومان، هر راننده تربیت شده بیكار 6000 تومان (شركت بر اساس ضوابط قانون كار، نمی‌تواند آنها را به علت عدم نیاز اخراج كند.)یك مدل برنامه‌ریزی خطی آنچنان ارائه دهید كه ضمن برآوردن نیاز شركت، هزینه استخدام و تربیت راننده این شركت را به حداقل ممكن برساند. (راهنمایی: از رابطه تعادلی زیر استفاده كنید:تعدادی كه رانندگی می‌كنند + تعدادی كه تعلیم می‌دهند= حل.در اینجا فرض شده است كه به ازای هر مربی، 10 كارآموز وجود دارد. همچنین با توجه به اطلاعات داده شده در مسئله، اخراج رانندگان نیز در نظر گرفته نمی‌شود. جهت تشریح مسئله و تعریف متغیرهای تصمیم‌گیری به شكل شماتیكی ذیل توجه كنید: شكل ص 29 در ابتدای هر دوره موجودی رانندگان در اختیار، به سه وظیفه رانندگی، مربیگری و یا بیكار بودن تقسیم‌ می‌شوند و در انتهای هر دوره 70 درصد كارآموزان به موجودی اول دوره بعد اضافه می‌گردند كه بالطبع موجودی اول دوره بعد را تشكیل می‌دهند. بنابراین از رابطه تعادلی در هر مرحله، برای تعریف محدودیتها استفاده خواهیم كرد لذا خواهیم داشت:متغیر تصمیم‌گیری:تعداد راننده تربیت شده كه به كار مربیگری در ماه i می‌پردازد = Xi1 برای (i=1, 2, 3)تعداد راننده تربیت شده بیكار در ماه (i=1, 2, 3) Xi2=i تابع هدف (عدد ثابت) =Min. zو یا (عدد ثابت) =Min. z در تابع هدف مقدار عدد ثابت، دستمزد پرداختی به رانندگانی است كه به فعالیت رانندگی اشتغال دارند.این میزان برای 4 ماهه فروردین تا تیرماه برابر 7000000= (250+200+150+1000) 10000 است. محدودیتهای مسئله چنین می‌باشند:محدودیت تعادل در فروردین ماه محدودیت تعادل در اردیبهشت ماه محدودیت تعادل در خرداد ماه محدودیت تعادل در تیرماه و یا می‌توانیم بنویسیم: نهایتاً متغیرهای تصمیم‌گیری، غیرمنفی و عدد صحیح می‌باشند: (عدد صحیح) ـ یك كارگاه راه‌سازی موقتی كه دارای یك برنامه 4 هفته‌ای است با 20 كارگر ماهر شروع به كار می‌نماید. در پایان چهار هفته نیز می‌خواهد همه كارگران را اخراج نماید. می‌خواهیم یك برنامه استخدام، اخراج، آموزش و اشتغال به كار اصلی تحت شرایط زیر آنچنان ارائه دهیم كه هزینه كارگاه در رابطه با این كارگران حداقل باشد.1 هر كارگر ماهر اگر در عرض هفته به كار اصلی مشغول یا بیكار باشد 1500 تومان در هفته حقوق می‌گیرد. 2 هر كارگر ماهر كه به كار آموزش در هفته بپردازد 2000 تومان در هفته حقوق می‌گیرد.3 كارگران تازه استخدام پس از یك هفته به كارگر ماهر تبدیل می‌شوند.4 هر كارگر ماهر می‌تواند پنج كارگر تازه استخدام را آموزش دهد. 5 حقوق هفتگی هر كارگر تازه استخدام 1000 تومان در هفته است.6 هزینه اخراج هر كارگر ماهر 3000 تومان است.مسئله را به صورت یك مدل برنامه‌ریزی خطی فرموله كنید. حل. همانند مسئله قبل در اینجا فرض می شود به ازای هر مربی، 5 كارآموز وجود دارد و موضوع اخراج كارگران نیز مطرح است.روش حل مسئله كاملاً مشابه مسئله قبل می‌باشد لذا از تشریح آن خودداری می‌گردد. لازم به ذكر است كه چون در پایان هفته چهارم تمامی كارگران اخراج خواهند شد، وجود مربی و كارآموز در هفته چهارم، بی‌مفهوم است لذا می‌توان x43 را از ابتدا صفر فرض كرده و از فرمول مسئله خارج كرد. همچنین توجه داشته باشید كه چون اطلاعات داده شده برای كارگران دارای كار اصلی و بیكار، یكسان می‌باشد، می‌توان از یك نوع متغیر تصمیم (به عنوان مثال xi1) برای هر دو به صورت ادغامی استفاده كرد.با توجه به آنچه كه گفته شد، متغیر تصمیم مسئله به شكل زیر بوده و مدل مسئله به دنبال آن می‌آید.(i=1,2,3,4) تعداد كارگران ماهری كه در هفته i‌ام به كار اصلی اشتغال دارند. =xi1(i=1,2,3,4) تعداد كارگران ماهری كه در هفته iام بیكار هستند. =xi2(i=1,2,3,4) تعداد كارگران ماهری كه در هفته i‌ام به مربیگری اشتغال دارند. =xi3(i=1,2,3,4) تعداد كارگران ماهری كه در هفته i‌ام اخراج می‌شوند. =xi4 (عدد صحیح) ـ یك طرح تولید محصول شیمیایی می‌تواند با استفاده از دو روش مختلف و با تركیب مواد خام R1 و R2 محصولات O1 و O2 را حاصل نماید. روش اول با تركیب 7 تن از R1 و 5 تن از R2 می‌تواند2 تن از O1 و 6 تن از O2‌ در یك روز تولید كند. روش دوم با تركیب 5 تن از R1 و 8 تن از R2 می‌تواند 5 تن از O1 و 4 تن از O2 در یك روز تولید كند. مقدار 350 تن از R1 و 400 تن از R2 جهت استفاده در این طرح موجود است. حداقل تقاضا نیز برای محصولات O1‌ و O2 به ترتیب 100 تن و 120 تن است. به علت اختلاف در دو روش، سود خالص روزانه حاصل از روش اول 3000 تومان است در حالی كه سود روش دوم 4000 تومان در روز است. با فرض اینكه در این طرح، تغییر از یك روش به روش دیگر به راحتی میسر باشد، مسئله را به صورت یك مدل برنامه‌ریزی خطی فرموله كنید.حل. ابتدا اطلاعات مسئله را در جدول ذیل خلاصه‌ می‌كنیم. سود خالص روزانه (تومان) محصولات تولیدی مواد اولیه مصرفی O2 O1 R2 R1 3000 6 2 5 7 روش اول4000 4 5 8 5 روش دوم 400 350 موجودی مواد اولیه مصرفی 120 100 حداقل تقاضای محصولات تولیدی حال به راحتی مشاهده می‌گردد كه این مسئله به راحتی فرموله می‌شود. متغیر تصمیم به شكل ساده زیر تعریف می‌گردد:xi: تعداد روزهایی كه به روش i محصول تولید می‌گردد. i=1,2مدل برنامه‌ریزی خطی این مسئله عبارت است از: ـ یك كارگاه دارای یك ماشین مته و پنج ماشین فرز است كه برای تولید یك محصول مونتاژ شده از دو قطعه 1 و 2 به كار می‌روند. بهره‌وری از هر ماشین برای تولید دو قطعه به صورت زیر داده شده است: زمان تولید (قطعه/ دقیقه) قطعهماشین فرز ماشین مته 4 3 13 5 2 هدف آن است كه تعادل كار بر روی ماشینها طوری انجام شود كه هیچ ماشینی بیش از 30 دقیقه از هر ماشین دیگر در روز كار ننماید. (تصور كنید كه فرزكاری به طور یكنواخت بین هر پنج ماشین مربوطه تقسیم می شود.) زمان كار مفید را بین ماشینها طوری تقسیم‌بندی كنید تا تعداد كل محصولات مونتاژی تكمیل شده در 8 ساعت كاری در روز ماكزیمم باشد. یك مدل برنامه‌ریزی خطی برای مسئله بنویسید. (راهنمای: x1 و x2 را برابر تعداد قطعات تولید شده در روز اختیار كنید و به علاوه هر قطعه باید از ماشینهای فرز و مته استفاده نماید.)حل.به منظور تشریح مسئله به شكل شماتیكی زیر توجه كنید: شكل ص 34 چنانچه به تعداد x1 از قطعه 1 و به تعداد x2 از قطعه 2 تولید كنیم (x1 و x2 متغیرهای تصمیم مسئله خواهند بود.)در نهایت به تعداد Min {x1 , x2} محصول نهایی خواهیم داشت كه هدف ما حداكثر كردن آن است. (به عنوان یك مثال عددی، چنانچه 50 عدد از قطعه 1 و 20000 عدد از قطعه 2 تولید كنیم بدیهی است كه تنها 50 عدد یعنی Min (50, 20000) محصول نهایی خواهیم داشت و مابقی قطعه 2 یعنی 19950 عدد آن، بلااستفاده خواهد ماند.) بنابراین می‌توانیم بنویسیم:(1) حال اگر تعداد محصول نهایی را برابر y (متغیر تصمیم سوم) قرار دهیم، یعنی y=Min (x1 , x2) در این صورت می‌توانیم به جای تابع هدف غیرخطی بالا، چنین بنویسیم: (2) مجدداً به صورت مسئله باز می‌گردیم و اطلاعات مربوط به محدودیتهای مسئله را جمع‌بندی می‌كنیم: زمان تولید (قطعه/ دقیقه) قطعهماشین فرز ماشین مته 4 3 13 5 25 * 480 480 حداكثر زمان كار مفید ماشینها (دقیقه) به منظور ایجاد تعادل كار بر روی ماشینها، به گونه‌ای كه مسئله تشریح كرده است داریم:(4) توجه داشته باشید كه (4×1+3×2) زمان كار مفید ماشین مته و (3×1+5×2) زمان كار مفید هر ماشین فرز می‌باشد، لذا با تبدیل این محدودیت غیرخطی به دو محدودیت خطی خواهیم داشت: (5) حال می‌توان مدل برنامه‌ریزی خطی این مسئله را به شكل زیر خلاصه كرد: (2) (3) (5) ـ یك واحد از محصولی از چهار واحد زیر مونتاژ A به علاوه سه واحد زیر مونتاژ B تشكیل شده است. هر دو واحد زیر مونتاژ A و B از مواد اولیه‌ای تشكیل شده‌اند كه از آنها به ترتیب 100 و 200 واحد در دسترس می‌باشد. برای ساخت این دو زیر مونتاژ، سه بخش تولید دخالت دارند كه به روشهای مختلفی زیر مونتاژ را درست می‌كنند. جدول زیر میزان مواد مورد لزوم را در هر بار تولید و میزان تولید حاصل از هر زیر مونتاژ نشان می‌دهد: خروجی هر زیر مونتاژ در هر بار تولید مواد مورد لزوم ورودی در هر بار تولید بخش تولیدB A R.M.2 R.M.1 5 7 6 8 19 6 9 5 24 8 8 3 3 چنانچه هدف ماكزیمم كردن تولید محصول نهایی باشد، مسئله را به صورت یك مدل برنامه‌ریزی خطی فرموله كنید.حل. به منظور تشریح مسئله شكل شماتیكی زیر را در نظر بگیرید. شكل ص 36 همان‌گونه كه ملاحظه می‌شود، تفاوت چندانی بین این مسئله و مسئله قبلی وجود ندارد. متغیرهای تصمیم، مشابه قبل تعریف می‌شوند.xi: تعداد مرتبه تولید توسط بخش i برای (i=1,2,3) بدین ترتیب تعداد زیر مونتاژهای تولیدی از نوع A برابر 7X1+6X2+8X3 می‌گردد. اما در تولید هر محصول نهایی، چهار زیرمونتاژ نوع A مصرف دارد. بنابراین حداكثر محصول نهایی كه از طریق تولیدات زیرمونتاژهای A ممكن می‌گردد، (7X1+6X2+8X3)/4 می‌باشد. با همین استدلال تعداد زیرمونتاژهای تولیدی از نوع B، برابر 5X1+9X2+4X3 می‌گردد و حداكثر محصول نهایی كه از طریق تولیدات زیرمونتاژهای از نوع B ممكن می‌شود (5X1+9X2+4X3)/3‌است. اگر تعداد محصول نهایی را y بنامیم، با توجه به شكل زیر: خواهد شد. شكل ص 36 بنابراین مدل برنامه‌ریزی خطی این مسئله به شكل زیر درمی‌آید. به طوری كه: محدودیت ماده اولیه محدودیت ماده اولیه محدودیت غیرمنفی بودن متغیرهای تصمیم‌گیری ـ یك كارخانه اسباب‌بازی تولید كننده سه نمونه اسباب بازی (كوچك، متوسط و بزرگ) می‌باشد. كل كارگران تولید كننده این كارخانه 400 نفر است. در زیر سود و زمان لازم برای تولید و همچنین مواد اولیه مورد لزوم را برای هر واحد از این سه نمونه ملاحظه می‌كنید:مواد اولیه (كیلوگرم) زمان تولید (ساعت) سود (واحد مالی) اندازه4/0 05/0 1 كوچك0/1 10/0 3 متوسط0/2 15/0 6 بزرگ مقدار مواد اولیه در دسترس روزانه 20000 كیلوگرم است. اگر تعداد ساعات كاری هر كارگر در روز 6 ساعت باشد و مدیر كارخانه تصمیم داشته باشد كه به علت فروش اسباب‌بازیهای نوع كوچك آنها را به اندازه مجموع دو نمونه دیگر تولید كند، به منظور ماكزیمم كردن سود، متغیرهای تصمیم را تعریف كرده و مسئله را فرموله كنید:حل.متغیرهای تصمیم را به صورت زیر تعریف می‌كنیم:x1= تعداد تولید اسباب‌بازی نوع كوچكx2= تعداد تولید اسباب بازی نوع متوسطx3= تعداد تولید اسباب بازی نوع بزرگ ـ یك كارخانه تولید لوازم خانگی با استفاده از روش فرم دادن، 4 نوع محصول را عرضه می‌كند. تولید در 5 كارگاه پرسكاری، مته‌كاری، مونتاژ، تكمیلی و بسته‌بندی انجام می‌پذیرد. مدیریت كارخانه مایل است تا بداند در ماه آینده از هر یك از محصولات به چه تعدادی تولید كند. در این راستا اطلاعات زیر در اختیار مدیر كارخانه قرار داده شده است: بخش میزان تولید واحد محصول در ساعت ظرفیت موجود (ساعت) محصول 1 محصول 2 محصول 3 محصول 4 پرس‌كاریمته‌كاریمونتاژتكمیلیبسته‌بندی 03/006/005/004/002/0 15/012/010/020/006/0 05/0005/003/002/0 10/010/012/012/0 05/0 400400500450400قیمت فروشهزینه تولید 106 2515 1611 2014 حداقل فروشحداكثر فروش 10006000 0500 5003000 1001000 همچنین از یك نوع ورقه خاص به میزان 2000 متر مربع در اختیار است كه در محصولات 2 و 4 كاربرد دارد. برای تولید هر واحد محصول 2، 2 متر مربع و برای تولید هر واحد محصول 4 به میزان 2/1 متر مربع از این ورقه مصرف می‌شود. چنانچه هدف حداكثر كردن سود باشد، مسئله را به شكل یك مدل برنامه‌ریزی خطی فرموله كنید: حل.برای فرموله كردن این مسئله به صورت یك مدل برنامه‌ریزی خطی فرض كنید كه x1 عبارت از تعداد محصول تولید شده از محصول i در ماه داده شده باشد و z كل در سود (فروش منهای هزینه) باشد، مسئله عبارت از انتخاب مقادیر غیرمنفی x1، x2، x3 ، x4 جهت ماكزیمم كردن كردن است به طوری كه: (1) محدودیتهای مربوط به ظرفیت زمانی (به عنوان مثال ماشین ساعت)(پرس‌كاری) (مته‌ كاری) (مونتاژ) (تكمیلی) (بسته‌بندی) (2) محدودیت مربوط به ورقه‌های فلزی موجود: (3) محدودیت مربوط به حداقل تولید و حداكثر فروش: ـ مخلوط خاصی از محصولات مختلف را برای یك پالایشگاه نفت در نظر بگیرید. فرض كنید كه پالایشگاه می‌خواهد چهار نوع مشتق نفتی را در سه نوع مختلف بنزینهای C , B , A به كار ببرد. مسئله این است كه نحوه اختلاط این مشتقات طوری باشد كه سود حاصل ماكزیمم گردد. مقدار در دسترس و هزینه هر كدام از این چهار نوع مشتق در زیر داده شده است:نوع مشتقات ماكزیمم تعداد در دسترس روزانه (بشكه) هزینه هر بشكه12 34 1000200030004000 7 واحد پول5 واحد پول3 واحد پول1 واحد پول برای حفظ كیفیت هر یك از انواع بنزین لازم است تا ماكزیمم و مینیمم درصد هر یك از مشتقات در هر مخلوط مشخص باشد. این مقادیر همراه با قیمت فروش در جدول ذیل داده شده است:نوع بنزین مشخصات نوع مشتقات قیمت فروشA حداكثر 10% از مشتق 1 10 واحد پول حداقل 30% از مشتق 2 حداكثر 50% از مشتق 3 B حداقل 10% از مشتق 1 20 واحد پول حداكثر 50% از مشتق 3 C حداكثر 70% از مشتق 2 30 واحد پول فرض می‌كنیم كه سود برابر است با كل فروش منهای هزینه كل این مشتقات. این مسئله را به شكل یك مدل برنامه‌ریزی خطی فرموله كنید به طوریكه مشخص كند از هر نوع مشتق چه مقداری در تولید هر نوع از بنزینها مورد استفاده قرار بگیرد تا سود حاصل ماكزیمم گردد.حل.متغیرهای تصمیم را به شكل زیر تعریف می‌كنیم.Xij تعداد بشكه به كار رفته از مشتق نوع i جهت تولید بنزین نوع j برای(j=A, B, C) (i=1, 2, 3, 4)برای به دست آوردن تابع هدف، لازم است تا هزینه كل را از فروش كل كسر كنیم.(هزینه كل ـ فروش كل= سود)لذا خواهیم داشت: با ساده كردن، تابع هدف به شكل زیر درمی‌آید: محدودیتهای مربوط به حداكثر بشكه‌های در دسترس از مشتقات توسط روابط زیر تعریف می‌‌شوند: حال به محدودیتهای مربوط به مشخصات نوع مشتقات می‌پردازیم: نهایتاً با توجه به غیرمنفی بودن متغیرهای تصمیم‌گیری داریم: ـ دو محصول با تركیب كردن سه ماده خام بر طبق مشخصات داده شده در جدول زیر ساخته می‌شوند. مواد خام در دسترس در هر ماه 5000، 6000 و 15000 كیلوگرم به ترتیب برای مواد شماره 1 تا 3 می‌باشند. به فرض اینكه بدانیم قیمت هر كیلوگرم از مواد 1 تا 3 به ترتیب 10، 15 و 20 دلار می‌باشد و هر كیلوگرم از محصول A، 100 دلار و هر كیلوگرم از محصول B، 150 دلار به فروش می‌رسد و همچنین مخارج متفرقه محصولات ساخته شده غیر از ماده خام، بدون در نظر گرفتن تركیب تولید برابر 10 دلار برای هر كیلوگرم باشد. هدف عبارت است از تعیین مخلوطی از مواد برای به كار بردن در هر محصول و مقدار تولید در هر ماه تا اینكه ماكزیمم سود به دست آید.الف) این مسئله را به فرم یك برنامه‌ریزی خطی فرموله هر گاه مشخصات تركیب سه ماده به صورت زیر باشد.3 2 1 ماده محصول 90% 20%15% A 30% 30%35% Bب) فرض كنید در این مسئله مشخصات تركیب سه ماده به صورت زیر باشد. مجدداً مسئله را به صورت یك برنامه‌ریزی خطی فرموله كنید: 3 2 1 مادهمحصول 90% 20%15% A 30% 30%25%-40% B حل. الف) متغیرهای تصمیم را به صورت زیر تعریف می‌كنیم:xij: مقدار ماده i به كار برده شده در ساخت محصول j بر حسب كیلوگرم (i=1, 2, 3, j=A, B) بنابراین، تابع هدف عبارت است از:P=(قیمت فروش هر كیلوگرم محصول B) + (وزن محصول A بر حسب كیلوگرم) (قیمت فروش هر كیلوگرم محصول A) (وزن ماده 1 بر حسب كیلوگرم) (هزینه ماده 1) ـ (وزن محصول B بر حسب كیلوگرم) * (وزن ماده 3 بر حسب كیلوگرم) (هزینه ماده 3) ـ (وزن ماده 2 بر حسب كیلوگرم) (هزینه ماده 2) ـ (وزن تبدیل شده به محصول بر حسب كیلوگرم) (هزینه تبدیل ماده به محصول برای هر كیلوگرم) ـ محدودیت مقدار ماده 1 در محصول A محدودیت مقدار ماده 2 در محصول A محدودیت مقدار ماده 3 در محصول A محدودیت مقدار ماده 1 در محصول B محدودیت مقدار ماده 2 در محصول B محدودیت مقدار ماده 3 در محصول B محدودیت مقدار در دسترس ماده 1 محدودیت مقدار در دسترس ماده 2 محدودیت مقدار در دسترس ماده 3 ب) تابع هدف و تمام محدودیتها، همانگونه می‌باشند كه در قسمت (الف) نوشته شده‌اند به استثنای محدودیت مربوط به مقدار ماده 1 موجود در محصول B كه به شكل زیر تغییر می‌كند: ـ كارخانه تولید كننده‌ای دو نمونه محصول A,B توسط چهار ماشین می‌باشد. در ضمن می‌دانیم محصول A به دو روش و محصول B به چهار روش با استفاده از تركیب مختلف این چهار نمونه ماشین می‌توانند تولید شوند در جدول زیر روشهای ممكن تولید، زمان لازم استفاده از ماشینها و سود هر واحد بر حسب روش انتخاب شده تولید، داده شده است. سود هر واحد (دلار) زمان لازم برای تولید بر حسب ساعت روش تولید محصول ماشین 4 ماشین 3 ماشین 2 ماشین 1 2 0 2/0 0 5/0 A 5/2 0 2/0 4/0 0 5 0 3/ 0 4/0 1 B4 4/0 0 0 4/0 2 4 0 3/0 6/0 0 3 3 4/0 0 6/0 0 4 23 34 31 38 ظرفیت ماشینها در هفته بر حسب ساعت در صورتی كه كارخانه قراردادی برای تولید حداقل 100 واحد از محصول A و حداقل 85 واحد از محصولB در هفته بسته باشد، مسئله را به صورت یك مدل برنامه‌ریزی خطی فرموله كنید.حل. متغیرهای تصمیم‌گیری را به صورت ذیل تعریف می‌كنیم:Xijk= تعداد تولید محصول نوع i تولید شده به روش j توسط ماشین k به طوری كه:برای i=A j=12 و k=1,2,3,4 و برای i=B j=1,2,3,4 و k=1,2,3,4 می‌باشد.بنابراین تابع هدف به صورت زیر می‌باشد: محدویتها عبارتند از:محددیت وقت ماشین اول محدودیت وقت ماشین دوم محدودیت وقت ماشین سوم محدودیت وقت ماشین چهارم محدودیت حداقل مورد نیاز محصول A در هفته محدودیت حداقل مورد نیاز محصول B در هفته در ضمن به دلیل عدم توان تولید بعضی محصولات توسط بعضی ماشینها محدودیتهای زیر را داریم: ـ كارخانه‌ای سه نوع محصول B, A و C را می‌تواند تولید نماید. سود هر قطعه محصول B, A و C به ترتیب 10، 8 و 15 واحد مالی می‌باشد. 5 نمونه ماشین مختلف برای تولید این محصولات به كار گرفته می‌شوند كه زمان لازم بر حسب ساعت كار برای هر محصول توسط هر نمونه ماشین و همچنین مقدار ظرفیت تولیدی هر نمونه ماشین بر حسب ساعت كار در هفته در جدول ذیل داده شده است. به منظور ماكزیمم كردن سود، مسئله را از نظرهای ذیل (به طور جداگانه) به صورت یك مدل برنامه‌ریزی خطی فرموله كنید.الف) هر ماشین طبق جدول بتواند هر نوع محصول را به تنهایی تولید كند. لذا ماشینهای شماره 4 از محصول B و شماره 2 از محصول C نمی‌توانند تولید داشته باشند و از هر كدام از محصولات به ترتیب 150، 180 و 90 واحد نیاز داشته باشیم. ادامه خواندن مقاله رياضي کاربردي

نوشته مقاله رياضي کاربردي اولین بار در دانلود رایگان پدیدار شد.