تحقيق در مورد ظهور ساختارهاي جبري

 nx دارای 21 صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است فایل ورد nx  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد. این پروژه توسط مرکز nx2 آماده و تنظیم شده است توجه : در صورت  مشاهده  بهم ريختگي احتمالي در متون زير ،دليل ان کپي کردن اين مطالب از داخل فایل ورد مي باشد و در فايل اصلي nx،به هيچ وجه بهم ريختگي وجود ندارد بخشی از متن nx : ظهور ساختارهای جبری جمع وضرب معمول كه بر روی مجموعه اعداد صحیح مثبت انجام می شود اعمال دوتایی اند كه دارای خواص زیر می باشند. مثلا اگر a,b,c معرف اعداد صحیح مثبت دلخواهی باشد داریم. 1)a+b=b+a موسوم به قانون جابجایی جمع2)a×b=b×a قانون جابجایی ضرب3)c+b +a=c+(b+a) قانون شركت پذیری جمع 4)(c×b×a= b×a قانون شركت پذیری جمع5)(c×a)+(b×a)=(c +b)×a قانون توزیع پذیری ضرب نسبت به در اوائل قرن نوزدهم جبر صرفا حساب علامتی تلقی می شد به عبارت دیگر به جای كاركردن با اعداد معین به طریقی كه در حساب عمل می شود، در جبر حروفی را كه معرف این اعداد به كادمی می جویم در این صورت در این صورت پنج عمل بالا در جبر بروی اعداد صحیح مثبت صادق اند ولی چون گزاره ها علامتی هستند این خواص را میتوان به عنوان خواص دستگاههای عناصر دیگری كاملا متفاوت با اعداد نیز تلقی كرد به عبارت دیگر یك ساختار جبری مشترك پنج خاصیت اسامی وپیامدهای آن به بسیاری از دستگاهها متفاوت وابسته است لذا باچنین دیدگاهی جبر با حساب گسسته درارتباط است. این دیدگاه جدید در اوایل قرن نوزدهم با كار جورج پیكاك فارغ التحصیل ومعلم كمبریج وسرپرست كلیسای ایلی پدیدر شد وی با مقایسه جبر با اصول اقلیدس توانست برای خود عنوان اقلیدس جبر را كسب نماید او بین جبر نمایدی وجبر حسابی تمایز قائل شد بدین ترتیب كه تفریق در جبر نمادی با تفریق در جبر حسابی متفاوت است از این جهت كه در اولی این عمل همواره انجام پذیر است ولی در دومی مثلا در تفریق a-b باید داشته باشیم a>b توجیه تعمیم این قواعد جبر حسابی برای جبرنمادی توسط پیكاك اصل تداوم صورتهای معادل نامیده شد. جبر نمادی پیكاك یك جبر حسابی عام است كه اعمال ان تا وقتی كه درجبر بطور مشترك پیش می روند توسط اعمال جبر حسابی تعیین می شوند ودر سایر موارد بر طبق اصل تداوم صورتهای معادل معین می گردند بعنوان مثال در نظریه نمادها اگر a یك عدد گویای مثبت و nعددی صحیح ومثبت باشد آنگاه an حاصلضرب n باد a درخود است از این تعریف نتیجه می شود كه به ازای هر دو عدد صحیح مثبت مانند m و n ، بنابر اصل تداوم صورتهای معادل پیكاك پذیرفت كه در جبر نمادی ماهیت پایه یا نمادهای n,m هر چه باشند داریم در اوایل قرن نوزدهم قابل تصور نبود كه جبری متفاوت با جبر معمولی حساب موجود باشد مثلا كوشش برای ساختن جبر سازگاری كه در آن قانون جابجایی ضرب برقرار نباشد نه تنها احتمالا در آن زمان به ذهن كسی نمی رسید بلكه حتی اگر هم به ذهن كسی خطور می كرد مطمئنا به عنوان فكر كاملا مسخره ای دورافكنده می شد با همه اینها چگونه می شد احتمالا جبری منطقی داشت كه در آن b×a مساوی a×bنباشد درباره جبر احساس چنین بود تا آنكه در سال 1843 ویلیام اوائل همیلتن بنابر ملاحضاتی در فیزیك مجبور به اختراع جبری شد كه در آن قانون جابجایی ضرب برقرار نیست. ازلحاظ ریاضیدانان عصر وی یك عدد مختلط عددی بود به شكل a+bi كه در آن a و b اعداد حقیقی بودند و جمع و ضرب اعداد مختلط با در نظر گرفتن a+bi بعنوان یك چند جمله ای خطی نسبت به گذاشتن به جای i2 ، هر جا كه ظاهر می شد، صورت می گرفت. بدین طریق برای مجموعه رابطه (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+di) و برای ضرب:(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)I را داریم. اگر این نتایج را بعنوان تعریف جمع وضرب زوجهای اعداد مختلط برگزینیم دشوار نیست نشان دهیم كه جمع وضرب جابجایی وشركت پذیر وضرب نسبت به جمع توزیع پذیر. حال چون یك عدد مختلط مانند a+bi به طور كامل توسط دو عدد حقیقی b,a معین می شود، این فكر در همیلتن پیدا شد كه عدد مختلط را توسط زوج اعداد حقیقی مرتب اداره نمایش دهد.وی دو زوج از این گونه اعدادمانند (c,d)(a,b) را برابر تعریف كرد اگر و فقط اگر b=d , a=c جمع وضرب چنین زوج اعدادی را وی به صورت (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc),(a,b)+(c,d)=(a+c+b+d) تعریف كرد اما با نتایج بالا مطابقت داشته باشد با این تعریفها بسادگی میتوان نشان داد كه جمع وضرب زوج اعداد حقیقی مرتب جابجایی و شركت پذیرند، وضرب نسبت به جمع توزیع پذیر است. البته به شرطی كه بپذیرم این قوانین برای جمع وضرب اعداد حقیقی برقرارند. باید توجه كرد كه دستگاه اعداد حقیقی در دستگاه اعداد مختلط نشانده شده است منظور از این بیان این است كه اگر یك عدد حقیقی مانند r با زوج اعداد متناظر (r,0) یكی گرفته شود، آن گاه این تناظر تحت عمل جمع و ضرب اعداد مختلط حفظ می شود زیرا داریم (a,0)+(b,0)=(a+b,0)(b,0)=(ab,0) در عمل به جای عدد مختلطی به شكل (r,0) می توان متناظر حقیقی آن یعنی r را قرار داد برای بدست آوردن شكل قبلی یك عدد مختلط از شكل همیلتنی آن توجه میكنیم كه هر عدد مختلط (a,b) را میتوان به صورت (a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(b,0)(0,1)=a+bi نوشته كه در آن (0,1) با نماد I نشان داده می شود و (b,0),(a,0) با اعداد حقیقی b,a یكی گرفته می شوند بالاخره ملاحظه میكنیم كه :i2=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1 دستگاه اعداد مختلط دستگاه اعداد بسیار مناسبی برای مطالعه بردارها و دوران در صفحه است. همپای در تلاش برای ابداع دستگاه مشابهی از اعداد برای مطالعه بردارها و دو انها د رفضای سه بعدی بود. در تحقیقات خود ، و بدین نتیجه رسید كه نه تنها باید زوج اعداد حقیقی مرتب (a,h) را كه اعداد حقیقی را در خود نشانده بود، در نظر بگیرد بلكه باید چهار تاییهای اعداد حقیقی مانند (a,b,c,d) را كه هم اعداد حقیقی و هم اعداد مختلط در آن نشانده شده بود، در نظر گیرد. به عبارت دیگر ،دو چنین تایی مانند (a,b,c,d) و (e,f,g,h) برابر تعریف می شوند اگر و فقط اگر d=h,c=g,b=f,a=e همیلتن لازم دید تا جمع وضرب چهارتاییهای اعداد حقیقی مرتب را چنان تعریف كند، كه درحالت خاص روابط (a,0,0,0,0)+(b,000)=(a+b,0,0,0) (b,0,0,0,0)=(ab,0,0,0,0)+(a,0,0,0,0) (a,b,0,0,0,0)(c,d,0,0)=(ac-bd,ad+bc,0,0) را داشته باشد. باكواتونیون حقیقی نامیدن چنین چهارتاییهای اعداد حقیقی مرتب همیلتن دریافت كه باید تعریفهای زیر را برای جمع وضرب كواتونیونهای خودتدوین كند: (a,b,c,d)+(e,f,g,h)=(a+e,b+f,c+g,d+h),(a,b,c,d)(e,f,g,h)=(ae-bf-cg-dh,af+be+ch-dg),ag+ce+df-bh,ah+bg+de-cf)به ازای عدد حقیقی دلخواهی مانند m، با یكی دانستن كوانیون (m,0,0,0) با m(a,b,c,d)=(0,b,c,d)m=(ma,mb,mc,md) با این تعریفهای می توان نشان داد كه اعداد حقیقی واعداد مختلط بین كواترنیونها نشانده شده اند، جمع وضرب كواترنیونها جابجایی وشركت پذیرند وضرب كواترنیونها شركتپذیر ونسبت به جمع توزیعپذیر است. اما قانون جابجایی ضرب برقرار نسبت به جمع توزیعپذیر است. اما قانون جابجایی ضرب برقرار نیست .برای ملاحظه این مطلب در حالت خاص و كواترنیون (0,0,1,0),(0,1,0,0) را در نظر بگیرید میتوان دید كه (0,1,0,0)(0,0,1,0)=(0,0,0,1) در حالی كه :(0,0,1,0)(0,1,0,0)=(0,0,0,-1)=-(0,0,01) یعنی قانون جابجایی ضرب شكسته می شود در واقع اگرواحدهای كواتونیونی (0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0) را به ترتیب با k,j,I,1 نشان دهیم، میتوانیم تحقیق كنیم كه جدول ضرب زیر حكمفرماست یعنی نتیجه مطلوب در خانه ای كه مشترك بین سطری كه سر سطر آن اولین عامل ضرب است وستونی كه سرستون آن عامل ضرب دوم است، پیدا می شود. K j i 1 xK J I 1 1-j K 1- I II 1- -k J J-1 -I J K kهمیلتن گفته است كه فكر كنارگذاشتن قانون جابجایی ضرب، پانزده سال بعد از تفكر بی ثمر، موقعی كه بازنش در كناره رویال كانال نزدیك دو بلین اندكی پیش از تاریك شدن هوا قدم می زده، مثل برق در ذهنش خطور كرد وی از این فكر دور از باور چنان به هیجان در می آید كه قلمتراش خود را از جیب درآورده جدول ضرب بالا را بر یكی از سنگسال پل براوم حك می كند امروزه لوحدای كه در سنگسای پل كار گذاشته شده روایتگر این ماجر است می توان كواتونیون (a,b,c,d) را به شكل a+bi+cj+dk نوشت وقتی دو كواتزنیون بدین شكل نوشته می شوند میتوان آنها را نظیر چند جمله ایهایی بر حسب k,j,I در هم ضرب كرد وسپس حاصلضرب را به كمك جدول ضرب بالا به همان شكل درآورد.متن لوح همیلتن به شكل زیر است اینجا به هنگام قدم زدن درشانزدهم اكتبر 1843 ویلیامراوئن همیلتن در بوقی از نبوغفرمول اساسی ضرب كواترنیونیها i2=j2=k2=ijk=-1 در سال 1844، هرمان گونتر گراسمان اولین چاپ اثر مهم خود حساب توسیعها را منتشر كرد كه كه در آن دسته ای از جبرها باتعمیم بیشتری نسبت به جبر كواترنیون همیلتن بسط یافته بودند به جای اینكه فقط مجموعه های چهار تایی از اعداد حقیقی در نظر گرفته شوند گراسمان مجموعه های مرتب از n عدد حقیقی را در نظر گرفت به هر مجموعه ای مانند (x1,x2,….xn) گراسمان عدد ابر مختلطی به شكل x1e1,x2e2+….+xnen را نسبت داد كه در آن en,…,e2,e1 واحدهای بنیادی جبرا هستند . دو عدد ابر مختبط از این نوع نظیر چند جملهایست بر حسب en,…,e2,e1 جمع وضرب می شوند دراین صورت جمع دو چنین عددی عددی از همان نوع بدست می دهد.برای آنكه حاصلضرب دو عدد از این گونه عددی از همین دونوع را به وجود آورد، ساختن جدول ضربی برای واحدهای en,…e,e مشابه با جدول ضرب همیلتن برای واحدهای k,j,I,1 لازم است.قبل از اتمام این بخش یك جبر غیرجابجایی دیگر در نظر می گیریم جبر ماتریسی كه توسط ریاضیدان انگلیسی آدژیكی در سال 1857 ابداع شد كیلی دررابطه باتبدیل خطی از نوع زیر متوجه ماتریسها شد كه در آن d,c,a اعداد حقیقی اندومی توان آن بعنوان نگاشتی در نظر گرفت كه نقطه (x,y) را به نقطه می برد. این تبدیل را میتوان با آرایه مربعی زیر در قالب نماد درآورد: كه ما آنرا یك ماتریس (مربعی از مرتبه دوم ) می نامیم. چون دو تبدیل در صورتی وفقط در صورتی یكسان هستندكه دارای ضرایب یكسان باشند ماتریسهای را بنا به تعریف برابر می گیریم اگر وفقط اگر d=h, c=g,b=f,a=e اگر به دنبال تبدیل بالا تبدیل این كار به تعریف زیر برای ضرب ماتریسها منجر می شود: = جمع ماتریسها به صورت زیر تعریف می شود: واگر m عددی حقیقی باشد، تعریف زیر را می كنیم در جبر ماتریسها كه اینگونه بدست می آید می توان نشان داد كه جمع هم جابجایی وهم شركت پذیر است واینكه ضرب شركت پذیر ونسبت به جمعتوزیعپذیر است ،اما ضرب همچنانكه بامثال ساده زیر نشان داده میشود جابجایی نیست، با بسط جبرهایی با قوانین ساختاری متفاوت با قوانین جبر معمولی ،هملیتن، گرآسمان، وكیلی سیل بندهای جبر مجرد نوین را گشودند.در واقع با تضعیف یا حذف اصول موضوعه گوناگون جبر معمولی، یا با گذاشتن یك یا چند اصول موضوع به جای اصول دیگر، كه با بقیه اصول موضوعه سازگار باشند، دستگاههای گوناگون متعددی را می توان مطالعه كرد به عنوان برخی از دستگاهها، دستگاههای زیر را داریم:گروهواره ها، شبه گروهها، طوقه ها و نیمگروهها، نكواره ها گروهها، حلقه ها، حوزه های صحیح ،شبكه ها،حلقه های تقسیم ، حلقه های بولی ، هیاتها، فضاهای برداری، جبرهای ژوردان و جبرهای لی ؤكه دو جبر اخیر مثال هایی از جبرهای غیرشركت پذیرند به گونه ای كه تا به امروز بالغ بر 200 تا ازچنین ساختارهای جبری را مطالعه كرده اند كه بیشتر آن به قرن بیستم تعلق دارد. ادامه خواندن تحقيق در مورد ظهور ساختارهاي جبري

نوشته تحقيق در مورد ظهور ساختارهاي جبري اولین بار در دانلود رایگان پدیدار شد.